Рис. 1-315. Пример нахождения амплитудно-фазовых характеристик для передаточной

2р+1

функции Я(р) = 2 2 1.

•nyCT4X."E"HEQ="4M"T0"a=6;PA30;"E"HE"QT="4H""T0»QT=tf;E DW=-qr K""HE"Vfti="4iI"T0"WH=O;L=O; Е"Ш=ЧЙ" "ТО"

"РАЗШ; "BIF-SA" "ТАБ" 1 ,W, LW,H, 20LG ,ФАЗА; TA3"Q; VM; 1 ."E-WaK" Т0"(АЧХ(А[КЧ],ЫЧД;НЧ,ФЧ);АЧХ(В[НЗ],КЗ,¥;НЗ,ФЗ);ФАЗА=ФЧ-ШЗ;Н=Е "НЗ=О10"БЕС"ИШ1"ЕЧ/НЗ;1)С="Е"Н=О"Т0"-БЕС"ИНА"СЕ"НЗ=(ГТ0"БЕС"1Ш A«2O><I(H));LW="EW=OT0~BECmJiJ(O;E""flEL¥ftI=4rT0LVffl= LW; PA3OT;BlF"IAE"l,W,LV7-LV!fi,H ,БСФАЗА ;"PA3"a; £"L=0"X0W=V7+ DW"MHAW=WxDW; "НА1)ТДЕ"ПР0Ц"АЧХ(С[К13 ,Hi,W;R, $)mi"A .Ю=1; Я =0;Х=€[1];У=0;Ш1=1ГДЛ"1=2"ШПДОЫ1М(Ь-Ю;Ю==-К;Я=Ь:11==¥1><; Х=Х+ЮкС[1>Ш1;У=+ЯкС[1]хШ1);Е=!,ЧХхХ+У><У);Е"Е=010Ф=6т**Е У-СГИ".Х<0"ТО"Ф=1Ш™" (Ф=180/ЯнАЕСБ1Н(УД); E"X<0TO"S«180xSIG Ы(У)-Ф)"К0Н"К0Н"О

Рис. 1-314. Программа нахождения амплитудно-фазовых характеристик.

Программа нахождения амплитудно- B[W-fl]--массив коэффициентов полинома

фазовых характеристик приведена иа рис. знаменателя.

-314. Входная точка программы - метка ЧХ.

Порядок решения задачи. В машину На печать выводятся: частота W, LW,

вводится директива обращения, в которой равное log W минус первое неравное беско-

указывается: М - порядок полинома числи- нечиости значение log U7, модуль передаточ-

теля; N - порядок полинома знаменателя; ной функции Н, 20 log Я1 и фаза; LW вы-

Q - разрядность счета (по умолчанию Q= водится для построения графика в лога-

= 6); QT-разрядность вывода таблицы рифмическом масштабе без использования

(по умолчанию QT=4); WH - начальная логарифмической бумаги,

частота (по умолчанию WH = 0, если задано Пример. Необходимо найти частотные

DW, или WH = 0,1, если задано LDW); характеристики передаточной функции

WK - конечная частота; DW - шаг изме- и ( \ - + 1

нения частоты {Wi+i = Wi-HDW; Wi - ~ 2»2-f 2р + 1

значение частоты на очередном шаге);

LDW - логарифмический шаг изменения в диапазоне изменений частоты от 0,1 до 10

частоты (W,. i = WiXLDW); в дирсктнце с логарифмическим шагом, равным двум,

обращения должен быть задан один из Директива обращения и распечатка табли-

двух возможных шагов; А[М-Н 1] - массив цы для этого случая приведены иа рис.

коэффициентов полинома числителя; 1-315.

"БЬШте=1О;ШЙ2;М=1;Н=2;*ЧХ1ДА[2>1,2;ВГЗ>1,2,2К0Н"<>

Нахождение всех корней многочлена верки, не является ли g(x) его делителем,

с действительными коэффициентами все повторяется сначала до нахождения

по методу Хичкока всех корней.

В программе сделана упрощенная про-

Описаиие алгоритма. Данная програм- верка на зацикливание. В каждом цикле по

ма приведена в [1-31]. Она позволяет вы- десять итераций: первое приближение срав-

числить все корни алгебраического много- нивается с девятью следующими. Если нро-

" исходит совпадение, то машина выдает на

члена =2-4 с действительными печать «НЕ СХОДИТСЯ» Обычно это

1= о следствие малой разрядности, коэффициентами по методу Хичкока. Метод Программа приводится иа рис. 1-316.

основан на выделении из многочлена квад- Порядок решения задачи. В машину

ратных множителей g(x)=x + cx+d. В про- вводится директива обращения, в которой

грамме используются два фиксированных указывается: N - порядок многочлена; Е-

начальных приближения {с = -4; d = 8; заданная точность; R1-разрядность сче-

с"=4; d"=8). Сначала испытывается пер- та; А[N-Ь1] - массив коэффициентов мно-

вое начальное приближение. Если после де- гочлена.

сяти итераций заданная точность ие дости- Входная точка программы - метка Я-

гнута, то полученное приближение запоми- Пример. Пусть необходимо найти все

нается вместо начального и испытывается корни многочлена второе и т. д. .

Корни считаются полученными с задан- f (х) = ж" - 2х - 2х + 6х - 7х + 8х - 4 ной точностью Е, если выполняется условие

\f{x)\<E. Затем исходный многочлен де- с точностью 10-" при разрядности шесть,

лится иа g(x). Полученный таким образом Директива обращения и полученные корни

Многочлен считается исходным, и после про- приводятся на рис. 1-317.

"ПУСТ" я .Е?.=Е1; к=1; 1. "рАЗ"Е2 ;Т=1;с=аг 2]/аг 1]; "Е"М=ГТО" (р-с ;q=o

ГНА-б) ;ЕМ=2Т0(Д=С t ?У4-А[3]Д[1]; "lii"5)iM=10;C=-4 1)=8;со=4;

1)0=8;Г=1;Ф=2;Т=0;2."ЕЬ(1(ГТ0»(ЬЬ0;Р=С;0=1);СгС0;Ь:1)О; Ci<:;Dl=I);F==-F)rM=№l;3=0;0=A[l];P=A[2KxQ;IPKi;OT»J;;=3

ДО"Ы" BblU" (R=P; Р=АГ J]-CkR-LxQ ;Q=E ;R-PP: РР=0Ч;?<Ег-1;>у);; Д=Е) ;Q=A[H+i ]-1>>€;Б=РР4С«Е;"ЕТ=0"Т0ЧаР=13>Е;Д=Е«0Р+3><РР;*Т.*Д=0 С+(Р>«8-0«Е)/Д;1)-1)+(РхОР-Ю>РР)/Д;"ЕС=<;ГГГ4)1*ТОЧЕ*Г=Ф*10»С . "E"Rl<2xR2"T0CRi=Rl-5-it; "PAS-Ri; НА"2);"BlB"ДШ СХОДЖКЗ;"СТО" ) ; Д=<; 1 a/i-D;Ti/((Q-PkC/2) 12+Р ? 2кА]?адЗ W

;A[2]=A[2K<AГl]rДЛJ=3"Ш"rД0Ы-r]lla=A[u>ApЗк;)<AГJ-l> и-2];5.Р=ч;/2;о=1/(АВБ(Д));ЕД>0«Т0"(М=Р+0;№0;О==0>ПЙ1А" "aiF"3HTiT% [х] лЛ=] .MQxi; K=K+i;6/Ш]?Шстр*%ш л; и.

Рис. 1-316. Программа нахождения корней многочлена по методу Хичкока.

"ВШ"Ы=6;Е=-б;Н1==б;Т1"ЯТД"А[7]=1.-2,-2,б,-7,8,~™н" Х1=. 56il55Ct,-6-f .iOOOOCixI

Х2=. 56455Gfo-6-{-(-. iOOOOCDxio

X3=.1000i3tol

X4=-. 199999,1 •

X5=.1999991

X6=.999870„00

Рис. 1-317. Пример нахождения корней многочлена f(x)=x-2x-2x4-6x-7x+8x-i

по методу Хичкока.

Нахождение всех корней многочлена по методу РЛюллера

Описание алгоритма. Данная программа приведена в [1-19]. Она позволяет найти все корни алгебраического многочлена

Р(х)= Ai+lx"~ по методу Мюллера.

В данной программе предполагается, что многочлен имеет действительные коэффициенты.

Метод основан на интерполяции многочлена Р(х) многочленом 2-й степени Q2(x), который строится по трем узлам. Для нача ла берется л:о=-1; x:i = l; Х2=0. После этого находится решение уравнения Q2(x)=0. Из двух полученных чисел х, х- выбирается то число Гз, которое ближе к хг. На следующем шаге Q2{.x) строится по точкам Xi, Х2, Хз и т. д. до тех нор, пока Xj не перестанут существенно отличаться. Выбор начальных значении х равными -1, 1, О обусловлен тем, что желательно (для увеличения точности) искать и выделять корни в порядке возрастания их модуля.

Итерационный процесс заканчивается при выполнении двух условий:

где Е - требуемая точность нахождения корней.

После этого выделяется найденный корень (или два сопряженных корня, если 1ш(л:з) !>£) и процесс повторяется сначала.

Процесс выделения корней заканчивается, когда найдены все корни или когда заданная точность не достигается за 30 итераций.

Программа приводится на рис. 1-318. Она оформлена в виде процедуры.

Порядок решения задачи. Для решения задачи необходимо обратиться к процедуре МЮЛЛЕР. Смысл параметров процедуры следующий: N - порядок многочлена; Е - заданная точность; A[N1] - наименование массива коэффициентов многочлена; U[N], V[N] - наименование массивов действительных и мнимых частей корней полинома.

Программа выдает на печать таблицу, содержащую действительные и мнимые части найденных корней полинома, величину Р {х) /Р (х) и количество итераций, потребовавшихся для нахождения корней.

Пример. Необходимо найти все корни многочлена Р{х) =х~2х~2х+6х-7х+ +8х-4 с точностью Ю"". Обращение к процедуре для этого случая и результат Счета приводятся на рис. 1-319.

Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций. Простые корни

Онисание алгоритма. Данная программа позволяет иайтн оригинал но заданному изображению в том случае, если изо-

бражение имеет вид: А(р)/В(р), где А(р) и В (р) - полиномы, не содержащие общих корней, и степень полинома числителя мень-нге степени полинома знаменателя. Предпо-лаг-ается, что корни полинома В(р) известны и все они простые. В этом случае оригинал может быть найден из следующего выражения:

А(р)

где S- -символ обратного преобразования Лапласа; п - степень полинома знаменателя;

В(р) = (р - Pi)(p - Рг) • • {Р-Рк) (Р-Рп)-

Программа, реализующая эту зависимость, приведена на рис. 1-320.

Порядок решения задачи. В машину вводится директива обращения, в которой указывается: М - порядок полинома числителя; N - порядок полинома знаменателя; НТ--шаг по времени {At), через который происх&яит вывод значений времени t и оригинала ПП (t); ТК - конечное значение времени; А[М--1] - массив коэффициентов полинома числителя в порядке убывания степени р; RE [N] - массив действительных частей корней полинома знаменателя; IM [N] - массив мнимых частей корней полинома знаменателя.

Входная точка программы - метка ЛАП.

На печать выводятся аналитическое выражение оригинала и (если заданы НТ и ТК) таблицы значений времени и оригинала. Разрядность вывода таблицы иа два меньше той, которая была задана при счете.

Пример. Необходимо найти оригинал по изображению, которое имеет вид:

тр+

р{р+1)(р + 2){р+3) (р + 4)Х "

Ч-240

" X (p-f 5) [(p-f 1)2+1]

и построить таблицу значений оригаиала для времени от О до 10 с шагом 1.

Директива обращения и решение задачи для этого случая приведены иа рис. 1-321.

Цифровое моделирование

Онисание алгоритма. Основными достоинствами цифрового моделирования является высокая точность и малое время перехода от расчетов по одной программе к расчетам по другой программе.

Любая система автоматического регулирования может быть разбита на конечное число линейных динамических звеньев НС выше второго порядка и какое-то количество нелинейных элементов. Линейные динамические звенья описываются обыкно- венными дифференциальными уравнеш1ями.