дом из этих двух деревьев на 1 меньше числа вершин. Отсюда следует утверждение (б).

Из утверждения (б) следует утверждение (в). Если.сеть Т несвязна,

Х- X

Рис. 2.2.12. Все различные деревья с шестью вершинами.

то каждая компонента Т связна и не имеет циклов. Поэтому из утверждения (б) число вершин в каждой компоненте превышает число ребер на 1. Далее следует, что общее число вершин в Г по крайней мере на 2 больше, чем общее число ребер, что противоречит предположению (б).

Рис. 2.2.13. Ациклическая ориентированная сеть.

Из утверждения (в) следует утверждение (г). Сначала докажем следующую лемму.

Лемма. Если в сети G имеется М вершин, N ребер и К компонент, то M-K<:N.

Доказательство. Проведем индукцию по числу ребер. Для N=1 утверждение леммы очевидно. Пусть G содержит наименьшее возможное количество ребер, скажем No. Удаление любого ребра из G должно поэтому увеличивать К на единицу, оставляя в сети М вершин, /<"+! компоненту и No-l ребро. Из предположения индукции следует, что No-lM-(/C+l), т. е. NM-К- Это доказывает лемму, так как N>No.

Из утверждения (в) и доказанной леммы путем сведения к противоречию получаем утверждение (г), так как K=i и удаление любого ребра оставляет УИ - 2 ребра и М вершин.

Из утверждения (г) следует утверждение (д). Каждая пара вершин соединяется по крайней мере одним путем, так как сеть Т связна. Если каждая пара вершин соединяется двумя или более различными путями, то любые два таких пути образуют цикл; отсюда следует противоречие, так как никакое ребро в таком цикле не может быть мостом по теореме 2.2.3.

Из утверждения (д) следует утверждение (е). Если Т содержит цикл, то любые две вершины в этом цикле должны быть связаны по крайней мере двумя путями. Если к Т добавляется ребро /, то в T+I между тупиковыми вершинами / будут существовать два пути [ребро / и единственный путь, задаваемый утверждением (д)]. Это единственный цикл в T+I, потому что любой другой цикл также должен был бы содержать ребро /. Отсюда следовало бы существование двух вершин в Г, между которыми имеется по крайней мере два различных пути,- противоречие с утверждением (д).

Из утверждения (е) следует утверждение (а). Предположим, что сеть Т несвязна. Если мы добавим к Т ребро, которое соединяет вершины в двух компонентах, то цикла создать нельзя; это противоречит утверждению (е). Поэтому Т должна быть связна, и теорема.2.2.4 доказана.

Следствие 2.2.4. Каждое дерево с УИ2 вершинами имеет по крайней мере две тупиковые вершины.

Доказательство непосредственно следует из теорем 2.2.1 и 2.2.4.

Дерево, у которого одна вершина выделяется среди всех других, называется корневым деревом; выделенная вершина называется корнем дерева. Как правило, корневые деревья изображаются так, что корень оказывается наверху, а все остальные вершины - ниже его, на уровнях, соответствующих расстоянию от корня. Иллюстрация приведена на рис. 2.2.14, а. Мы будем предполагать, что каждое дерево с корнем имеет по крайней мере три вершины. Максимальный уровень любой вершины в дереве с корнем известен как высота дерева.

Среди наиболее широко используемых математических структур употребляется один специальный класс корневых деревьев, известных как двоичные корневые деревья. С ними нам часто придется встречаться в этой книге. Двоичное корневое дерево - это корневое дерево, у которого степень корня равна 2, а степень всех остальных вершин 1 или 3. Одно такое дерево приведено на рис. 2.2.14, б.

Теорема 2.2.5. Пусть Т - двоичное корневое дерево, у которого М вершин, вьюопш L и Q тупиковых вершин. Тогда

(а) М нечетно;

(б) Q = ;

Корень

Уровень О

Корень

Уровень О

Рис. 2.2.14. (а) Корневое дереве высоты 4; (б) двоичное корневое дерево высоты 5.

6485

м(Тз)-2е г