Рис. 5.8. Снижение отдельных квантилей нормального распределения (Дхр/о]) в зависимости от коэффициента преобразования масштаба п [40]

нормальном типе исходного распределения преобразованный промежуток нельзя более описать нормальным распределением. Можно показать, что при увеличении масштабного коэффициента п тип распределения F„(x) переходит в двойное экспоненциальное (см. п. 1.3.2) [290]. Искривление зависимости на вероятностной сетке наглядно демонстрирует это превращение (рис. 5.7).

С помощью полученной в работе [40] номограммы (рис. 5.8) можно, основываясь на стандартизованном нормальном распределении, определить квантили хр при масштабном коэффициенте п=10*. Показанное на номограмме относительное уменьшение квантилей AXp/ai при исходном распределении N{[11; (Ti) с квантилями Х[р происходит в соответствии с выражением

Хпр Xip-

(5.18)

Если построенную по точкам с помощью (5.18) функцию распределения Fn{x)=N(ii; а) необходимо представить нор-

Таблица 5.1

0,1

Рис. 5.9. Результирующая функция распределения при параллельном включении двух элементов с нормальным распределением случайных величии [40]: а -ц11 = ц12=(Х1з=и; Опфопфоа; б - \1пФ\1\2Ф\>-\з\ 011 = 0,2=013 = 0

i-fnUf.s; г-Л.иЛг; 3-Л,(2) = ЛГ(0; 1); 4-Fk(z) = N{u- 4); 5 - Лз(2) = ЛГ(0; 0,25); е-Лз(2)=ЛГ(-2; 1); 7 - f 12(г) = ЛГ(2; 1)

мальным распределением, это делают с помощью множителей а \\ b (табл. 5.1) [291] и параметров исходного распределения

[A« = Pi-(5.19) o„=ba. (5.20)

Параллельное включение элементов, случайные характеристики которых хотя и обладают нормальным распределением, но имеют различные параметры (ри; ои), делает соотношения весьма сложными, если проблема решается не на основании точечных оценок (см. гл. 3), но в возможно более общем виде.

Рисунок 5.9, с показывает результирующую функцию распределения при параллельном включении двух изолирующих

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

промежутков в двух частных случаях, когда \in - \ii2; Оцфап и pii=5pi2; (Tii=(Ti2. В обоих случаях результирующая функция распределения заметно отличается от исходных распределений, обладая в рассматриваемых случаях большей вероятностью пробоя [40].

Логарифмически-нормальное распределение.

Все описанные свойства нормального распределения могут быть использованы для логарифмически-нормально распределенной случайной величины V, если осуществлено преобразование X=\ogY. Обратное преобразование следует выполнять с помощью номограммы рнс. 5.8 и уравнения (5.18) (см. п. 1.3.2). При усеченном распределении (начальное значение Уо = 0) логарифмически-нормальное распределение по мере увеличения масштабного множителя п превращается в двухпараметрическое распределение Вейбулла (начальное значение

Смешанное распределение.

Закон преобразования масштаба использовался в работе [69] для получения смешанных распределений на основе распределения Вейбулла и в работе [40] на основе нормального распределения. Рисунок 5.10 ясно показывает, что уже весьма малая доля (0,8 7о!) с малым математическим ожиданием достаточна для исключительно сильного снижения функции Fn{x) (ср. с рис. 5.7). Если разложить смешанное распределение

0,01 0,005

-в -7 -6 -5 -J -2 -1

Рис. 5.10. Преобразование масштаба при суммировании двух нормальных распределений (вероятностная сетка нормального распределения) {40]