\ff(x)ix=F(b)-F(a)

Рис. 1.3. Функция распределения (a) непрерывной случайной величины и ее

плотность (6)

а дисперсия (параметр разброса) как

(1.21)

Моментом -го порядка случайной величины X относительно а называют ожидаемую величину, вычисляемую на основании общих выражений (J-a) т. е.

V., = E{{X-an = X,{xt-aYpi.

(1.22)

Тогда математическое ожидание является первым моментом (или моментом 1-го порядка [17]) для а = 0, а дисперсия является вторым моментом -а = ji = £J (центральный момент 2-го

* В модели, описанной формулой (1.20), дисперсия является моментом инерции центра тяжести.

порядка). Квадратный корень из дисперсии называют стандартным отклонением а.

Для вычислений математического ожидания и дисперсии существуют следующие правила:

Е{аХ + р) = аЕХ + р; (1.23)

£(Xi-fX2) = £Xi-f№ (1.24)

DXE{Xf-{EXf; (1.25)

0{аХ + р) = аЮХ, (1.26)

а для независимых случайных величин -

E(XiX) = EiXi)EiXy, (1.27а

ПЦХ1 + Х,) = ОЦХ,)+ОЦХ,). (1.276)

Функция распределения непрерывной случайной величины (рис. 1.3) изображается в форме

Р{х) = Р{Х<х)= h{t)dt, (1.28)

а выражение

fix)Fix) (1.29)

обозначает функцию плотности распределения вероятностей (плотность вероятности). Функция плотности вероятности имеет следующие свойства:

f{x)>0 (для всех х); (1.30)

ff(x)dx=l. (1.31)

Всякая функция, обладающая этими двумя свойствами, может рассматриваться как функция плотности вероятности непрерывной случайной величины. Следует ли описывать случайную величину функцией распределения или функцией плотности вероятности, должно быть решено не столько из-за сравнительной простоты математического аппарата, сколько просто из-за удобства описания физических и технических свойств объекта. Как правило, особенно применительно к высоковольтной технике, удобнее работать с функцией распределения.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина попадает в интервал Ах, задается выражением

Р (а < X < Ь) = J f (х) dx = F {b)F (a). Д1.32)

при этом для такого интервала имеет место приближенное равенство

Р {х X х+Ах) (х) Ах. (1.33)

Величина реализации x=qp, соответствующая определенному значению функции распределения F{qp)=p, называется р-квантилем (квантилем порядка р) [17].

Пример 1.11. Для вероятности пробоя р=ОДО (10 %) соответствущий 10 %-иый квантиль пробивного напряжения Unp ю определяется в соответствии с национальным и международным стандартами [171, 172 и др.] как статистическое выдерживаемое напряжение и используется для координации изоляции.

Для непрерывной случайной величины также могут быть заданы моменты относительно а аналогично k-u моментам [см. формулу (1.22)]:

lik = E liXaf] = j- (x - а) / (x) dx, (1.34)

которые обладают следующими свойствами:

k=l, а=0 соответствует математическому ожиданию как среднему значению функции распределения;

k = 2, a = ii задает как меру ширины функции распределения;

k = 3, a = ii задает третий центральный момент цз, который используется для вычисления отношения у=\1з/а как меры асимметрии функции распределения (так называемый коэффициент асимметрии распределения);

= 4, а==р, задает четвертый центральный момент (x4, используемый для вычисления эксцесса 8 = iiJ (а-З) как меры отклонения от нормального распределения (см. п. 1.3.2).

Для расчетов с математическим ожиданием и дисперсией справедливы сформулированные выше правила (1.23) - (1-27). В результате функциональных взаимосвязей с участием одной или нескольких случайных величин с известными функциями распределения или функциями плотности распределения вероятности образуют новые случайные величины, функции распределения которых представлены в табл. 1.1. (Окончательное выражение этих функций однако часто является достаточно сложным.

Существует большое число математически хорошо изученных функций распределения [см., например, выражения (1.14) - (1.17) и (1.29) -(1.31)] дискретных или непрерывных случайных величин. Такие функции распределения, как биномиальная, распределение Пуассона, нормальное распределение, распределение Вейбулла и другие (например, указанные в § 1.3), известны как хорошие математические модели и должны поэтому обозначаться в наших выкладках как «теоретические» функции распределения. Эти теоретические функции распределения пол-