0,99

0,95 0,90

0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20

0,10 0,05

900 920

960 980

Рис. 2.28. Эмпирическая функция суммарной частости h-z и ее аппроксимация на вероятностной сетке нормального распределения (пример 2.10)

Пример 2.10, Относительно запланироваиного в примере 2.7 опыта с нарастающим напряжением в промежутке шар - плоскость в воздухе известно, что, как правило, напряжение пробоя распределено по нормальному закону. Поэтому и эмпирическую функцию суммарной частости (рис. 2.27) следует аппроксимировать нормальным распределением. Точечная оценка

параметров приводит к значениям математического ожидания m=Unv - = 953 кВ и стандартного отклонения s = 18,2 кВ. Нормальное распределение с этими параметрами в виде прямой линии изображено на вероятностной сетке одновременно с эмпирической функцией суммарной частости. Видно, что нормальное распределение (953; 18,2) хорошо аппроксимирует экспериментальные взаимосвязи. Это впечатление подтверждается тестом Колмогорова (см. II. 1.5.1): значение критерия rfma.c = 0,07 (рис. 2.28) явно меньше граничного значения ftso; (1,п5 = 0,188. Расчет доверительных границ (см. п. 1.3.2. и штриховые линии на рис. 2.28) еще очевиднее говорит о том, что и в диапазоне весьма малых вероятностей аппроксимация нормальным распределением дает надежные результаты. На этом основании не остается никаких сомнений, что исследуемое напряжение пробоя должно рассматриваться как нормально распределенное. Рекомендуется лишь вычислить доверительные границы для параметров этого нормального распределения. С помощью формул табл. 1.7 для статистической надежности е=0,95 выполняются доверительные двухсторонние оценки математического ожидания (947 и 959 кВ) и стандартного отклонения (15,0 и 22,8 кВ).

Описанный общепринятый путь оценки параметров дает наиболее удовлетворительную, а при одновременном графиче-

ском изображении - также и весьма наглядную оценку. При затруднениях в параметрической оценке, например, при распределении Вейбулла после графического изображения на вероятностной сетке прямая искомой теоретической функции распределения может быть найдена также путем регрессионного анализа (см. п. 1.4.3 и пример 2.6). Следует, однако, заметить, что для регрессионного анализа должны быть использованы все имеющиеся реализации. По проведенной прямой могут быть определены как параметры, так и квантили.

2.3.4. Определение функции поведения по функции суммарной частости. Выбор параметров эксперимента обеспечивает глубокую взаимосвязь функции суммарной частости и функции поведения (см. п. 2.1.2). При известной функции поведения возможные функции суммарной частости 5д„ (и) (рис. 2.7) рассчитываются в соответствии с формулой (2.1). В отличие от опытов с неизменным напряжением, выполняемым для определения функции суммарной частости, опыты с нарастающим напряжением требуют технических удобств, однако, практические выводы относительно поведения изоляции могут быть сделаны и по одной лишь функции поведения на основании наблюдений в процессе эксплуатации (см. п. 2.1.1). Функцию суммарной частости без какого бы то ни было технического риска можно использовать в качестве функции поведения, поскольку функция суммарной частости лежит неизменно с более «надежной» стороны от функции поведения (рис. 2.7). Тем не менее рекомендуется внимательнее относиться к определению функции поведения по функции суммарной частости.

При ступенчатом нарастании напряжения взаимосвязь между обеими функциями должна проявляться наиболее сильно и поэтому должна обрабатываться в первую очередь. Начав увеличение импульсного (рис. 2.3) или длительно приложенного напряжения (рис. 2.22, б) с какого-нибудь определенного начального значения «о, повторяют его затем во всех отдельных опытах при неизменной величине этого напряжения. Естественно, после завершения заключительного опыта при любом значении напряжения можно оценить вероятность пробоя по соотношению между числом событий «пробой» и числом приложений напряжения. Например, на рис. 2.3 при «др=102 кВ и mi* = 8 приложениях напряжения получено k,* = l пробоев (вторая серия экспериментов), а при Ыпр= 105 кВ и т2* = 5 приложениях напряжения - Й2* = 2 пробоев (первая и четвертая серии). Полученные при этом оценки вероятностей пробоя Pi* = 0,125 и р2* = 0,40 принадлежат искомой функции поведения. Изменения в схеме действий следуют непосредственно на основании оценок функции поведения; разумеется, столь большие квантили оцениваются весьма неточно.

Оценка может быть улучшена, если расчеты выполнять на

оснований аппроксимации функции суммарной частости какой-либо теоретической функцией распределения. Это выполнено в работах (39, 41, 43, 124, 137], и описанный ниже метод вычислений выполняется для любой функции суммарной частости 5д„(Ыпр) при строгом определении лишь уровня ступени Аы. Используя обозначения из формулы (2.1)

ai = V{Uo + iAu) ii = 0, 1, 2, 3, . . . ); bk = SaiUo + kAu) {kO, I, 2, 3, . . .)

запишем (2.1) в форме

Ь.= Еа/П(1-а/).

г= I j=a

Далее

k Г *

h+ibk + ak+iT[{l-aj) = bk + ak+i 1-ао-Е«г П(!-«/) =

/=0 L <=1 /=0

= bk + ak+i{l-ao - bk).

При этом можно положить ao=V(«o)=0, поскольку в начале вероятность пробоя должна проходить вблизи нуля. Отсюда следует, что

bk+i - fefe

или после замены сокращенных обозначений первоначальными искомое выражение для вычисления функции поведения по функции суммарной частости будет

V (»пр) = """ ~ ""Р " . (2.10)

1 - 5д„ («пр - Ди)

Если функция суммарной частости достаточно хорошо известна, то нет никаких препятствий для вычисления по точкам и функции поведения при используемой величине Аи.

При аппроксимации 5д„ математически несложной функцией распределения соответствующая функция поведения может быть вычислена ее подстановкой в выражение (2.10). Например, если для 5да(ыпр) получено двойное экспоненциальное распределение с параметрами Unpess н у, окончательное решение будет

Ипр -[ипрвзз -?1п \ - ехрС-- -ехр----Ь-tlA

V {unp)= 1-ехр

(2.11) 159