Глава первая

ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ

Большинство доводов, соображений и методов [17] математической статистики основано на доказательствах, которые не имеют большого значения ни для понимания изложенного в этой главе, ни для практического применения в высоковольтной технике. Введение сделано поэтому коротким и очень схематичным, оно дополняется, с одной стороны, ссылками на литературу, а с другой - примерами и ссылками на технику высоковольтных исследований.

1.1. Основные понятия теории вероятностей

1.1.1. Случайный опыт и случайный результат. Случайный опыт - это, в самом общем смысле, опыт, результат которого внутренне определен, однако делается неопределенным в зависимости от различных физических факторов и при равных внешних условиях может быть повторен любое число раз [17-19].

В процессе выполнения случайных опытов происходят случайные (статистические) события. Случайные воздействия приводят к случайным результатам опыта. Возникающая неопределенность в появлении определенного исхода описывается в теории вероятностей с помощью численных характеристик (см. п. 1.1.2). Случайные события будут обозначаться большими буквами А, В, С,...

Пример 1.1. Изоляционная конструкция испытывается напряжением с заданными формой кривой и уровнем (испытания неизменным напряжением). В процессе эксперимента в изолирующем материале в результате, например, случайного процесса образования начальных электронов, размножение носителей зарядов может достичь необходимого для самостоятельных частичных разрядов уровня и перейти в пробой. В качестве результата эксперимента можно рассматривать различные события: произошли ли взаимоисключающие события пробоя (D) и отсутствия пробоя (N) или более детальное рассмотрение события пробоя (D), возникновение стабильных частичных разрядов (Г) или их отсутствие (F). При повторении испытаний число событий N будет равно сумме числа событий Т и F. Для событий D

и N или, что то же, D, Т и F вероятность их появления может быть задана одним числом.

Пример 1.2. Рассматривается то же изоляционное устройство, что и в примере 1.1, однако напряжение установлено настолько большим, что пробой происходит каждый раз. В качестве случайного исхода в этом случае может рассматриваться время до пробоя, которое из-за случайности факта пробоя колеблется внутри определенных границ. Результатом измерений является неотрицательное, определенное, поддающееся измерению время.

Пример 1.3. Изолирующее устройство повторно подвергается воздействию возрастающего напряжения до наступления пробоя (испытания осуществляются плавным подъемом иапряжеиня). При одинаковом физическом смысле, как и в примере 1.2, пробой здесь наступает обязательно, однако значение пробивного напряжения случайно.

Связь между случайными событиями обычно описывается с помощью понятий алгебры событий (17-22]. При этом вводят следующие определения:

1) событие V(/) называют достоверным событием, если оно возникает при каждом выполнении опыта (например, пробой в примере 1.3);

2) событие 1(Ф) называют невозможным, если оно никогда не происходит при выполнении опыта (например, отсутствие пробоя в примере 1.3);

3) событие А называют дополнительным к событию А, если А обязательно происходит, когда не происходит Л (например, D н N в примере 1.1 являются дополнительными);

4) два события называются несовместимыми или дизъюнктивными, если их одновременное появление невозможно (например, в этом смысле исключают друг друга события Т и F в примере 1.1);

5) логическую сумму двух событий {A\JB) называют объединением; это означает, что по меньшей мере одно из событий- А или В - обязательно имеет место (например, в примере 1.1 выполняется соотношение N = T+F);

6) логическое произведение {АГ\В) двух событий называют совмещением: например, если у двух параллельных изоляторов / и 2 не наблюдаются поверхностные пробои, то и вообще поверхностного пробоя не произойдет: N = NiPiNz.

Если с появлением события А обязательно происходит второе событие В, то говорят, что А влечет за собой В (например, электрический пробой всегда происходит вслед за появлением частичного разряда).

1.1.2. Относительная частость и вероятность. Пусть при п-кратном выполнении случайного опыта случайное событие А произошло т раз. Отношение

h„{A)m/n (1.1)

называют относительной частостью. Поскольку 0<m<n, для относительной частости имеет место

о < Л„ < 1,

(1.2)

так как для достоверного события Л„(/) = 1, а для невозможного события Л„(Ф)=0. Для двух несовместимых событий В и С относительная частость логической суммы Л„(ВиС) = = h„{B) +hn{C). Для решения задач высоковольтной техники особенное значение имеет относительная частость двух дополнительных событий А и Л:

Л„(Л)=1-Л„(Л).

(1.3)

Пример 1.4. Изолирующее устройство подвергалось испытаниям постоянным напряжением (пример 1.1) п=20 раз, причем т=7 раз произошло событие «пробой». При этом относительная частость состав- 1,0 ляет в соответствии с формулой (1.1) й„(Д)=0,35. Событие «иепробой» (N) при этом дд является дополнительным, так что в соответствии с выражением (1.3) можно получить

его относительную частость hn(N) = l-hn{D)=0,65.

Рис. 1.1. Зависимость относительной частости hn(A) от числа выполняемых опытов п (дискретные измеренные значения соединены сплошной линией лишь для наглядности)

Если серию п случайных опытов повторять многократно (рис. 1.1), то не всегда будет получаться шрежняя величина hn{A). Это означает, что относительная частость /г„(Л) колеблется около некоторого определенного значения, приближаясь к нему по мере увеличения пив качестве предельного значения достигая

lim Л (Л) = р (Л). (1.4)

Эту предельную величину называют (статистической) вероятностью случайного события. Каждое случайное событие Л может быть сопоставлено с вероятностью р(Л) как мерой степени достоверности ее появления. Поскольку сама вероятность р(Л) не может быть определена экспериментально, она оценивается с помощью относительной частости /г„(Л). В § 2.2 подробно обсуждается, насколько такая оценка корректна и целесообразна в высоковольтной технике. В соответствии с определением на основании твердо установленных свойств относитель-