где G(t) = 2H-, ЬЛ(т) -аД(т)

й -6

й2б2

(«+) +--

£(т):

= е*; в интервале й+ <: / < 2ft, 0+ <: т < ft, / = т + Л,- вектором

«(т) =

г а [G + т1, + PS (т) + QL (т)] то + аО (т) т,-alL + PM (т) + QP (т)] то + aL (т) mj, а РЛ (т) + QW (т)] то + аР (т) aQB (т) «о + aQ (т) mj Lmi

(1.118)

•S (т) = fйт - 1 + Л (т)]; Ж (т) = [1 - Л (т)]; £f jT) интервале 2ft*<:<3ft, 0*<:т<Л, / = т + + 2ft.- вектором

(т) = IС (т): D (т); £ (т); f (т); т I, (1.119)

где С (т) = а [G + ftL + PS 4- QL + т (L + PAf + QP) + {АР + + Qr) S (т) + BQL (т)] mo + а [G +TL+PS(T)+QL(T)]mi+aG(T)m2; D (T) = a [L+PM + QP + (ЛР + Ql!7) M (t) + BQP (т)]то+а[L + + PM (T) + QP (T)]m, + gL (t) гщ; E (t) = a [(AP + QIP)A(t) + + BQli?- (T)]mo + a [PA (т) + Ql!7 (т)] + aP (т) т; f (т) =. = aSQB (т)то -f aQB (т) m + aQ (т) m; в интервале ЗЛ+ « / < 4Л, 0*<:T-<ft, = т + 3ft,- вектором

Г С + tD + £ S (т) + FL (т) + oG (т) mg-i D + EM (t) + fP (T) + aL (т) V (T) = EA (T) + FW (T) + aP (т) mg . (1.120)

fB(T) + aQ(T)m3

-тз J

Рассмотрим пример. Пусть объект регулирования имеет параметры а = 806 с"*; й = 20 G-1; 6 = 2 с~. На вход системы (см. рис. 1.1, й) поступает воздействие и (О = U + at, U = 1, где 0=2 с"!. Определим передаточную функцию оптимального цифрового регулятора при шаге квантования ft == 0,1 с по формулам (1.111) - (1.116)

W(Z):

46,74596 - 84.96458Z-1 -f 43,69128z- - 4,47266г-з 1 + 1,09492г-1 + 0,47590г-2 + 0,02451 г»

Оптимальный цифровой регулятор формирует иа выходе четыре мгновенных импульса, площади которых соответственно равны то = m (0*0; mf = m (ft+); = m (2ft+); т= m (3ft*). Ha входе объекта регулирования (после фиксатора нулевого порядка) цифровой регулятор формирует управляющее воздействие в виде сомкнутых между собой четырех импульсов длительностью ft каждый с амплитудами = (О*); = щ (ft*); mj = «2 (2ft+), mg = «г (3ft*). Для заданных параметров объекта

регулирования и шага квантования получаем следующие значения: Шо = 31,90055f/ + 7.422705а; mj = -62,ЗЗБ78[/ - 11,31440о; щ = = 33,96991[/ + 4,860687а; /Из = - 3,53468[/ - 0,46899а. где [/ = I, о = 2 сК

Переходные процессы в системе на рис. 1.1, ас указанный объектом регулирования и оптимальным цифровым регулятором при входном воздействии и (f) - 1 + 2i и нулевых начальных условиях, рассчитанные по формулам (1.117) - (1.120), изображены иа рис. 1.20, б.

Синтез оптимальных цифровых регуляторов при входном линейно-изменяющемся воздействии вида и (О = U -{- at для систем на рис. 1.1, а 6 линейными астатическими объектами регулирования второго, третьего и че1вертого порядков и анализ переходных процессов при нулевых начальных условиях позволяют сделать следующие выводы.

1. Переходные процессы заканчиваются за два шага квантования мгновенного ключа (за время 2h) для систем с объектами-регулирования второго порядка, за три шага квантовзБия мгновенного ключа (за время ЗА) для систем с объектами регулирования третьего порядка и за четыре шага квантования мгновенного ключа (за время 4 h) для систем с объектами регулирования четвертого порядка.

2. Если объект регулирования имеет астатизм второго и более высокого порядков, после окончания переходных процессов установившаяся выходная величика цифрового регулятора равна нулю («2 = 0). Если объект регулирования имеет астатизм первого порядка, после окончания переходных процессов установившаяся выходная величина цифрового регулятора не равна нулю (иа 0).

3. Передаточные функции W (г) оптимальных цифровых регуляторов для различных передаточных функций G (s) объектов регулирования приведены в табл. 1.4 [20]. Коэффициенты передаточных функций цифровых регуляторов определяются параметрами объекта регулирования, шагом квантования h и скоростью (первой производной) входного воздействия а.

1.6. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ЩХФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ПРИ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНОМ ВХОДНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Рассмотрим систему на рис. 1.1, а, на вход которой поступает входное воздейетвие вида w (0.= U + at + Xt- Такое входное воздействие имеет первую u{f) = а +2kt и вторую й (О == 2Л производные. Пусть математическая модель объекта регулирования описывается передаточной функцией G (s) = = а /s. Для такого объекта схема аналогового моделирования изображена на рис. 1.8, а. На вход объекта регулирования поступает управляющее воздействие Wj, постоянное в течение интервалов h и изменяющееся скачком от и (vh) до иЦхИ,*} в дискретные моменты времени / = vft"*". Начальные условия - нулевые. Определим передаточную функцию W (г) (см. рис. 1.1, а) оптимального цифрового регулятора, при которой система отрабатывает входное воздействие и (/) = [/ -Ь -f Kt без перерегулирования за конечное и минимальное время.

1.4. Передаточные функции оптимальных цифровых регуляторе» ivia систем на рис. 1.1.о при входных воздействиях u(t)= U+at

Передаточная функция объекта регулирования G(s)

Передаточная функция оптимального цифрового регулятора W (z)

и I и h

6д + + &,z-i

(l 2-l)([/+fli2-l)

где bg = m„; 6i = OTi -Ото;

OTi =

<хй(1 - В) ft 1 \ ~B(I -B)JJ «i = t/ + !0--

2ft + --

и 2

•« o=SF3 + 5ft2

21/3 и I

5 „ 2ft I „

(s.+ b)

feo + &ig"-- +V [/+ ai2-i + Й2г-2

где 6o = "oJ bi = mi; bmi

aft2(l-B) ft ft

t/.+ 3ft +1-

l-B" 2.

\ 1 . &(1.+ B)