площади которых соответственно равны Шо-т (О*); /и = = т (ft*V, гпц - т (2ft*), и в установившемся режиме - бесконечную последовательность мгновенных импульсов, площади которых равны т= т (vft*) при v :> 3. На входе объекта регулирования (после фиксатора нулевого порядка) цифровой регулятор формирует управляющие воздействия в виде импульсов длительностью ft, амплитуды которых равны то = «2 (0+); «1 =«2(ft*); щ = tij,2h*) и = (/ (vft+) при v > 3. Для заданных параметров объекта регулирования и шага квантования получаем следуюидае значения: = 3,190056 + 0,58277а; = -3,043526 - 0,23699о} №2 = 0,353476 +0,07923а; т., = 0,05о. где {/= 1 и а=2с-1.

Переходные процессы в системе на рис. 1.1, а с указанным объектом регулирования и оптимальным цифровым регулятором при входном воздействии «-( = 1 + 2 и нулевых начальных условиях, рассчитанные по формулам (1.96) - (1.98), изображены на рис. 1.18.

Рассмотрим систему на рис. 1.1, и, в которой математическая модель объекта регулирования описывается передаточной функцией G (s) = а [s (s + ft)]-i. Объект регулирования имеет астатизм 2-го порядка. Схема аналогового моделирования для объекта изображена на рис. 1.7, а. Дискретная матрица перехода для объекта имеет вид

1 ft Р aL

0(ft) =

О 1 Q аР О 1 BaQ ООО I

где элементы матрицы определяются выражениями (1.3) и (1.27).

При поступлении на вход системы (см. рис. 1.1, а) с рассматриваемым объектом регулирования линейно изменяющегося воздействия u(j)- и + at при нулевых начальных условиях можно организовать переходной процесс без перерегулирования выходной координаты за минимальное время, равное 3ft, если выполнить совместно три условия:

xi (3h) = а(L + 2АР + QP + ftQ + BPQ) + a (L + ftP + + QP) nil + aLmg = t; + 3fta;

x (3ft) = a (P + Q2 + BQ2) mo + a (P + Q) + aPm = a; ,(3A)=a-- -

(1.99)

Хз (ЗА) = aQ (ВШо + Вт + mg) = 0.

Умножая второе уравнение на Q, а третье уравнение - на Р и вычитая из второго уравнения третье, после несложных преобразований находим следующее соотношение:-

Щ = -(1 + В) то + а (Р + Q2 BP) °-

Используя выражения для элементов дискретной матрицы перехода Ф ф), получаем

Шх = -(Г + Б)то + В) (l-lOO)

Умножая второе уравнение на BQ, а третье уравнение - на (Р + Q) и вычитая из второго уравнения третье, после несложных преобразований имеем

== Вшд - Q2 щ о.

Используя выражения для элементов дискретно{5 матрицы перехода Ф (А), получаем

Подставляя значения т± и из формул (1.100) и (1.101) в первое уравнение системы уравнений (1.99) и используя выражения для элементов дискретной матрицы перехода Ф (h), решаем это уравнение относительно неизвестного /Яо:

ah (1 - В)

.102)

Подставляя выражение для величины Шо в формулы (1.100) н (1.101), находим

Г / 1 А

«1 = -аАМ1

А А \ ""2 -ГГв/"

- ahX ~ В)

( 1 А ЗА\ 1/ + ЗА + у-узв-

(1.103) (1.104)

Таким образом, оптимальный цифровой регулятор при линейно изменяющемся воздействии и (i) == U -{- at на входе системы рис. 1.1, а должен формировать управляющие воздействия на входе объекта регулирования в виде импульсов длительностью А с амплитудами гпд = (0+); ~ щ (А+) и = = u(2h*), которые определяются выражениями (1.102) - (1.104).

Определим площади 0 (vA*) мгновенных импульсов на входе цифрового регулятора в системе на рис. 1.1, а (амплитуды «2 (vA+) сомкнутых между собой импульсов на входе усилителя с переменным коэффициентом усиления в эквивалентной системе на рис. 1.1, б):

е (О*) = «2 (0+) = и ~xt (0+) = U; е (А+) = «2 (А+) = U-{-ho - Xi (А+) = и + ho -

~aLmfi = U-{.ha - Ts

bh + l

в)/По;

(1.105)

0(2ft+) = «2(2Л+) = U +2ha-xi (2A+) =.U+2ha -

~a(L + hP + QP) mo - aLmt = U + 2ha- (1.106)

- 26S {(Sfeft" - 2 (6ft - В + B)] Щ +

2 (fcft - 1 + B)] rtii).

Передаточная функция оптимального цифрового регулятора

где 60 = 0; l>i = mi, b = m, = (ft+); == «2 (2ft+).

Определим переходные процессы в системе на jdhc. 1.1, а с рассмотренным объектом регулирования и оптимальным цифровым регулятором, обеспечивающим минимальное время регулирования, равное 3ft, без перерегулирования выходной координаты X (О при линейно изменяющемся входном воздействии и ( == и + at.

Переходные процессы в интервале О* f < ft, t = х, определяются вектором

•0 (т) = [xi; ДС2; лгз; т] = [aL (т) Шо, аР (т) aQ (т)то; «о!. (1-108)

где Z. (т) = 4

- Ьх+1-В(х)

Р(т) = -[6А-1 + В(т)];

v(x)

(1.109)

г.(т) =

(1.110)

Q(t)=-[1-B(t)}; В(т):

Переходные процессы в интервале ft* < f< 2ft, 0+<:т< ft, #=T-j-ft, определяются вектором

-а L + xP + QP (т)] «о + (т) «11 а Р + QQ (т)] Шо + аР (т) aQB (т) т„ + aQ (т) Mi mi

Переходные процессы в интервале 2ft+<: f< 3ft, 0+<:T<ft. <=t + 2ft, определяются вектором

- a [ L+ftP+QP+(P+Q2) t+BQP (т)] пц+" + a [L + тР + QP (x)] mi + aZ, (т) a[P + q + BQQ (t)]mo + a[P + + QQ (t)] mi + aPma a [QBB (t) mo + QB (т) mi + Q (т) ma] Щ

Рассмотрим пример. Пусть параметры объекта регулирования а = 800 с~; 6=2 c"i. На вход системы (см. рис. 1.1, а) поступает воздействие « (Q = t/ + о/, где U - \, о = 2 с i. Определим передаточную функцию оптимального цифрового регулятора при шаге квантования ft = 0,1 с по формулам (1.102) - (1.107)

1,92624 - 3,22747г-1+ 1,35124г-2 V/{z,~ 1 о,95513г-1+ 0,189552-2 •

Оптимальный цифровой регулятор формирует, иа своем выходе три мгновенных импульса, площади которых соответственно равны Wo = (О*), mi = m (ft+), т = т. (2ft*). На входе объекта регулирования (после фиксатора нулевого порядка) цифровой регулятор формирует управляющее воздействие в виде импульсов

длительностью А каждый с амплитудами /Пд = «2 (О*)» ~