Составляя систему уравнений г> (ЗА*) = vk решая ее относительно неизвестных Шд, «jj и т, получаем

a{Q - bP) " = «Q(f,-CP)-( + Qo;

(Q - abL)(F - CP) + а (Q - bP)(LC - f i) «Q(f2-CP)[Si-fi(B + C)+LCB] 5

"2 = -CX -Cmj.

Используя обозначения (1.42), после преобразований записываем окончательные выражения:

abc

"" = «(1 - Л)(1-В)(1 - С)

аЬс{\-А - В - С) 1-к(1-Л)(1 -В)(1 - С)**

abc (1-Л-В - С + ЛВ +-ЛС + ВС) "2- ю(1 - Л)(1 - В)(1 - С)

(1.43)

Таким образом, оптимальный цифровой регулятор должен формировать управляющие воздействия на входе объекта регулирова-ния в переходном режиме гщ = = uih*); = uJ2h*),

которые определяются выражениями (1.43), и в установившемся режиме

: «2 (уй+) = аЬс/ю при V > 3,

(1.44)

Найдем последовательность импульсов на входе цифрового регулятора:

«2(0) = 1;

be (Ь

1 -"юЛ/Ио = 1 -

с)А - ас(а~с)В-{-аЬ{а - Ь)С (a-b)(b~c)(a - c)

(1-Л)(1-В)(1-С)5

1 - (1.45)

«2 (2Л*) l-Xi (2А+) = 1 - af- «tmt =

gfc (a - b) AB + bc {b - c)BC - ac (a-c) AG (a-b)(b-c)(a~c)

- ЛВС +

117 (г) =

(1 Л)(1-В)(1-С)-

Передаточная функция оптимального цифрового регулятора то + ffiiz-i + /пг" + ffig(2-4-2-4- • • •+г+--)

«2 (0+) + «2 (й) + «2 (2/f-) 2-= "(l -г-1)(1 + «12-1 + й-а) .

(1.47)

где Ко >= Шо; ai = щ (А+); ащ (2й+);

mi -trip

Переходные процессы в системе на рис. 1.1, ас рассмотренным объектом регулирования и оптимальным цифровым регулятором, обеспечивающим минимальное время регулирования, равное 3ft, без перерегулирования выходной координаты (<) при единичном ступенчатом входном воздействии к {t), определяются из следующих выражений.

Переходные процессы в интервале О* <: / < ft, i = т определяются вектором

(т) = [aL (т) Шо) аР (т) Шо, aQ (т) Шо; nto], (1.48)

где L (т) =

abc 1 -

fcc (fc-с) Л (т)-ас (а-с) В(т)+а& (а-Ь) С (т)

; Q (-г) = -7 [1-е W]; (т) = е-":

г> (т) =

.(1.49)

С(т)-Д(т) . Л (т) 6 - с • tt- (fr-а)(с-о) +

(а -6)(6 -с)(а -с) сВ(т)-&С(т)] 1

--J; Q(T) = 7

В (т) = е-; С (т) = е".

Переходные процессы в интервале fe+ <: (< 2ft, 0- <: т < А, i = т 4- А. определяются вектором

-ю [LA (т) + PN (т) + QM (т)] rtto + aL (т) «г а [РВ (т) + Q117 (т)] то + аР (т) aQC (т) /По + «Q (т) т± mi

гдеЛ.(т)=-);1.(т)

В (г) С(т)

+ (а - 6)(с - 6) + (G - с)(6 - с) •

Переходные процессы в интервале 2А+ <: < ЗА, 0+ < т < А, f = T + 2ft, определяются вектором

-а (f 1/По + L/ni) Л (т) + а (f Ото + Рт) N (х) + + «Q (Сто + /Hi) М (т) + aL (т) /«г г> (т) = а (Fo + Ртд В (т) + aQ (Стр+т W (т:)+аР {х)т aQ {Сто + "i) (т) + «Q (т)

. (1.S0)

Пусть объект регулирования имеет параметры а = 250 с""*, а = 20 с~1, 6 = 2 с"!, с = 25 с-1. Определим передаточную функцию оптимального цифрового регулятора при шаге квантования А = 0,1 с по формулам (1.43) - (1.47):

1 - 1,0362г-1 + 0,1891г-" - 0,009095г-» W (г) = 27,8026 , -i, о,5980г-1 + 0,03840г-2)

Переходные процессы при единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных условиях в системе иа рис. 1.1, а С указанным объектом регулирования и оптимальным цифровым регулятором, рассчитанные по формулам (1.48) - (1.50), изображены на рие. 1.11, б.

в рассмотренном примере коэффициенты о, и передаточной функции оптимального цифрового регулятора определены в аналитическом виде. Однака более рационально определять коэффициенты а,- численными методами по известному оптимальному управляющему воздействию на входе объекта и передаточ- ной функции объекта регулирования.

1.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ СИСТЕМ С ОБЪЕКТАМИ РЕГУЛИРОВАНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ПРИ СТУПЕНЧАТОМ ВХОДНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Общее аналитическое выражение для оптимального управляющего воздействия на входе стационарного линейного объекта регулирования. Рассмотрим стационарный линейный объект регулирования, математическая модель которого описывается передаточной функцией общего вида

g(.s)=-

srs П (s + a..)

(1.51)

где сопрягающие частоты а/ могут быть вещественные (положительные и / или отрицательные) и комплексно-сопряженные (с положительными и / или отрицательными вещественными частями). Число г определяет порядок астатизма объекта. При г = О объект статический, при г = 1 - с астатизмом 1-го порядка, при г= 2 - с астатизмом 2-го порядка; N - степень, полинома в знаменателе передаточной функции G (s).

Дискретную передаточную функцию участка системы иа рис. 1.1, а «фиксатор нулевого порядка + объект регулирования» определим г-преобразованием

ЯС(г)=2{Я(5)0(5)}=2 = (1-2-1)2

1 -е

,-fts

G(s)

G(s)

Разложим G (s)/s на элементарные дроби

G(s) к

/4-1 П (Н-а.)

iW-J-l

(1.52)

(1.53)

где неопределенные коэффициенты вычислим, вычитов

«,=1 i=r+l

используя формулы

/>/-

(S + «,)

- srG(s)

либо метод неопределенных коэффициентов.

(1.54)