2.7. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СПЕКТРАМИ ОДИНОЧНОГО ИМПУЛЬСА И ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ

Пусть заданы импульс (t) и соответствующая ему спектральная плотность Si (со) = Si (2я/) (рис. 2.12, а). На этом рисунке изображен модуль сплошного спектра Sj (2я/) в виде функции, четной относительно /.

При повторении импульсов с периодом Т получается последовательность, представленная на рис. 2.12, б (слева). Линейчатый (дискретный) спектр этой последовательности изображен в правой части рисунка. При периоде Т интервал между любыми двумя соседними гармониками равен 1/Т.

Коэ(})фициент п-н гармоники в соответствии с выражением (2.22)

где coj = 2я/7; и соответствуют рис 2.П.

Спектральная же плотность одиночного импульса на той же частоте со = nuti будет [см. (2.47)]

S(&> = «coi) = г Sl{t)e~"di. и

Как ранее уже отмечалось, спектральная плотность S (со = лсо,) отличается от коэсициента с„ ряда Фурье периодической последовательности только отсутствием множителя ИТ.

Следовательно, имеет место простое соотношение

c„=Sj(rtcoi)/r=/iSi(ncoi). (2.56)

Соответственно комплексная амплитуда п-й гармоники

A„::=.2c„=2/iSi(«coi). (2.56)

Итак, модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.

На рис. 2-12, б штриховой линией обозначена огибающая линейчатого спектра с„1 - fSi (пщ).

sJt-T) Л.

I 1 I I I I М LI

-Z4 0 1 гъи

Рис. 2.12, Олиночный импульс и его спектральная п.цотность (а), периодическая последовательность импульсов и ее линейчатый спектр (б)

с увеличением Т спектральные линии на рис. 2.12, б сближаются и коэффициенты с„ уменьшаются, но так, что отношение остается неизменным. В пределе, при Т -> оо, приходим к одиночному импульсу со спектральной плотностью

Si(co)=:lim(c„ i). f,-«-o

Таким образом, становится наглядным термин «спектральная плотность»: S (со) есть амплитуда напряжения (тока), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту со.

2.8. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Между сигналом s (t) и его спектром S (со) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектра. Из многочисленных возможных преобразований сигнала рассмотрим следующие наиболее важные и часто встречающиеся: сдвиг сигнала во времени, изменение масштаба времени, сдвиг спектра сигнала по частоте, дифференцирование и интегрирование сигнала. Кроме того, будут рассмотрены сложение сигналов, произведение и свертка двух сигналов, а также свойства взаимной обратимости со и / в преобразованиях Фурье.

1. СДВИГ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕНИ

Пусть сигнал sit) произвольной формы существует на интервале времени от ti до /а и обладает спектральной плотносткю (со). При задержке этого сигнала на время 4 (при сохранении его (}юрмы) получим новую функцию времени

«2 it) = Siit-to),

существующую на интервале от Н- tg до 4 + to-

Спектральная плотность сигнала (t) в соответствии с (2.48)

U + t+i

S(C0)=r. j Si{t)e->dt= f {t - to) "" dt.

Вводя новую переменную интегрирования г = t - to, получаем

S{ы)=e-*> Г Si(T)e-Mr = e-»oSi(co). (2.57)

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции s (t) на ±4 приводит к изменению фазовой характеристики спектра S (со) на величину ±о>4. Очевидно и обратное положение: если всем составляющим спектра функции S (/) дать фазовый сдвиг 9 (со) = ± со, линейно-связанный с частотой со, то функция сдвигается во времени на ±4-

Амплитудно-частотная характеристика спектра (т. е. модуль спектральной плотности) от положения сигнала на оси времени не зависит.

2. ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ

Пусть сигнал Sj (t), изображенный на рис. 2.13 сплошной линией, подвергся сжатию во времени. Новый сжатый сигнал (t) (штриховая кривая

Рис. 2.13. Сжатие сигнала при сохранении его формы и амплитуды

на рис. 2.13) связан с исходным соотношением «2 (О = si (nt), п> I.

Длительность импульса Sj (/) в п раз меньше, чем исходного, и равна xjn. Спектральная плотность сжатого импульса

т„/« xJn

Sa(®) = j s.,(Ое-d/ = j Si(«Ое -d.

Вводя новую переменную интегрирования t = nt, получаем

5з(а)) =-i-J Si(T)e " dt.

Но интеграл в правой части этого выражения есть не что иное, как спектральная плотность исходного сигнала (t) при частоте со/«, т. е. Sj (ш/п).

Таким образом,

S2((o)=Kl/rt) Si(co/a).

Итак, при сжатии сигнала в п раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в п раз. Очевидно, что при растягивании сигнала во времени (т. е. при rt •< 1) имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

3. СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА Применим (2.48) к произведению s{t) cos (coq + 9о)

Le((Oo<-feo) 4-2

j s(Ocos((Do+9o)e-"d/= J s{t)

- oo - oo

e-«o><df=--- J s{t)e-«-<)tdt+

s(t)e-n<+<.)tdt.

1 Lg-i(<"o + 9o) 2

Первый интеграл в правой части есть не что иное, как спектральная плотность функции S (t) при частоте со - coq, а второй интеграл - при частоте со + cOfl. Поэтому полученное выше соотношение можно записать в форме

J s(Ocos(co„/ + 9o)e-d/=-i-[ee.S(cD-cuo)-i-.e-e.s(co4-cDo)], (2.58)

- оо

где S (со) - спектральная плотность сигнала s ().

Из выражения (2.58) вытекает, что расщепление спектра S (со) на две части, смещенные соответственно на Н-соо и -соо, эквивалентно умножению функции S (t) на гармоническое колебание cos со (при Эц 0).

Более подробно это положение рассматривается в гл. 3 при изучении модулированных колебаний.