а резонансная тура

частота кон-

(9.24)

Рис. 9.16. Автогенератор иа транзисторе с общей базой

Г9.25)

При рассмотрении всех перечисленных схем не учитывались паразитные параметры-межэлектронные емкости, индуктивности вводов, фазовый сдвиг коллекторного тока из-за влияния инерции электронов и т. д. Поэтому коэффициент обратной связи в одноконтурных автогенераторах оказался независимым от частоты. Этот вывод справедлив при относительно невысоких частотах. С повышением рабочей частоты схема замещения автогенератора усложняется и коэффициент обратной связи должен рассматриваться с учетом перечисленных факторов. Частотная зависимость Кос особенно сильно выражена для транзисторных автогенераторов, работающих на частотах, близких к граничной частоте транзистора. Аргумент комплексной крутизны (см. § 8.3) достигает в этих генераторах 90° и более. Аргумент Фос цепи обратной связи отличается при этом от 180°.

На высоких частотах большое распространение получили транзисторные автогенераторы, работающие по схеме с ОБ и обладающие конструктивными преимуществами по сравнению со схемой с ОЭ. Типичная схема гетеродинов радиоприемников представлена на рис. 9.16. Резистор R,jo автосмещения включен в цепь эмиттера.

9.6. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ АВТОГЕНЕРАТОРА

В предыдущих параграфах данной главы изучались условия возникновения колебаний и определялась устойчивость стационарного режима автогенератора. Необходимо рассмотреть весь процесс установления автоколебаний: от включения до установления стационарного режима. Это важно для ряда приложений, когда приходится иметь дело с формированием коротких радиоимпульсов (например, в импульсных радиосистемах). Для полного описания работы автогенератора, охватывающего все стадии процесса установления, необходимо отказаться от условия малости амплитуд, лежащего в основе линейного дифференциального уравнения (9.8).

Использованное при составлении этого уравнения линейное соотношение (9.7), которое можно привести к виду

ia = 5(«cK -ОМак).

необходимо заменить нелинейной функцией

определяющей ток г а при любых значениях и и Ыак-Запишем аргумент нелинейной функции в форме

«ск-/«ак = («ск/«ак -D) "ак = (Koo - D) "ак = Кос ("ак),

(9.26)

(9.27)

(9.28)

где 282

Кос = Кос - Е>.

Тогда

ta=1("cK-«ан)=Ф(Яос «ак)-

Подстановка (9.5) и (9.29) в (9.4) приводит к уравнению Дифференцируя (9.30) по t, получаем

CR dt

«ак =

1 t (oc Иак) С

«ак. dt

1> (/<oc «ак)

«ак=0-

(9.29)

(9.30)

(9.31)

(9.32)

Как и следовало ожидать, получилось нелинейное уравнение. Дальнейший путь заключается в подстановке в уравнение (9.32) какой-либо подходящей аппроксимации функции (/<ос«ак)-

Наиболее удобной является аппроксимация с помощью степенного полинома. Чтобы не слишком усложнять задачу, обычно исходят из неполного полинома третьей степени [см. (8.13)]

к = (/<ос «ак) = «1 Лос. «ая + {KU «ак) = «1 /(ос «ак - -1аз1(/Сос«ак). (9.33)

Входящее в выражение (8.13) слагаемое i (Uo) опущено, так как оно не влияет на поведение функции

Ыак- Знак минус перед кубическим членом взят в соответствии с формулой (8.14).

Аппроксимация (9.33) пригодна при фиксированном положении рабочей точки на вольт-амперной характеристике (в точке перегиба, см. рис. 8.5). Следовательно, при этом не учитывается изменение напряжения смещения и о в процессе нарастания амплитуды колебания (при автоматическом смещении). Тем не менее, как показывает опыт, аппроксимация (9.33) все же позволяет выявить основные черты процесса установления колебаний в генераторе, работающем в мягком режиме.

Подставляя (9.33) в (8.32), получаем

"ак

+ -jr[-f{-J -ос %) «ак + Ы Ki

-f-1-Ы„ = 0. LC "

-(2 1 1 - Так «1к) + cog Мак = О,

где использованы обозначения

2а,,, = (1/Я-Косах)/С\ 7эк = 3\ Оз\/(cVC; (0§ = 1/LC.

(9.34)

(9.35)

Заметим, что в самовозбуждающемся генераторе <; О (см. § 9.2). Разделив (9.34) на cog и введя малый параметр

е = 2 1аэ„1/Шо, получим

(9.36)

1 daaK

Узк 2аэк

1 duab 0)0 dt

+ «ак=0-

Переходя, наконец, к безразмерному времени т= (Oq/h к безразмерному напряжению

и = ИакКУэн/21а,„1, (9.37)

получаем уравнение, известное под названием уравнения Ван дер Поля: е(1-«) + « = 0. (9..38)

При малых напряжениях, когда < 1, уравнение (9.38) переходит в линейное уравнение, совпадающее с (9.8). С увеличением напряжения и все сильнее проявляется нелинейность устройства, обусловленная величиной и.

Методов, позволяющих получить точное решение нелинейного уравнения (9.38), не существует. Имеется, однако, возможность получения очень простого приближенного решения, обеспечивающего вполне достаточную для практики точность при использовании высокодобротного колебательного контура. Известно, что для существенного изменения амплитуды и, следовательно, запасенной в таком контуре энергии требуется время, измеряемое значительным числом периодов колебания. Поэтому можно исходить из допущения о медленном изменении амплитуды при запуске генератора. Это дает основание отыскивать решение нелинейного уравнения (9.38) в фор.ме высокочастотного колебания

и{х) = и (т) cos т. (9.39)

Итак, для отыскания приближенного решения уравнения (9.38) остается найти только функцию U (т), т. е. огибающую амплитуд колебания. Частота колебания просто приравнивается coq = УУЬС, а начальная фаза, которая в решении (9.39) опущена, может быть принята любой в зависимости от начальных условий запуска гeнepaтopa.

После подстановки (9.39) в (9.38) делается ряд упрощений, основанных на отбрасывании слагаемых высших порядков малости. Во-первых, условие медленности функции U (t) позволяет пренебречь второй производной этой функции. Во-вторых, высокая избирательность контура позволяет пренебречь слагаемыми вида cos Зт == cos Swt, получающимися при возведении в куб cos т. В результате имеем следующее уравнение для квадрата огибающей и (т):

dU 1/*

(/2 Н ]=.о. (9.40)

Стационарная амплитуда t/T определяется сразу, достаточно приравнять нулю производную от и. Таким образом,

t/c%-t/cV4=0, (9.41)

откуда t/pT = 2-

Решив уравнение (9.40) и совершив переход от т и ы к первоначальным переменным t и «ак. придем к окончательному выражению для мгновенного значения напряжения:

«ак (О = "" COS (СОо t + %), (9.42)

В действительности фаза, а следовательно, и частота колебания в процессе установления являются функцией времени. Для определения поправки к частоте необходимо находить второе или даже более высокие приближения.