Нас интересует амплитуда заряда q (t) при заданной частоте ш в установившемся режиме. Поэтому задача сводится к отысканию периодического решения уравнения (8.81). Следует, однако, иметь в виду, что благодаря нелинейному характеру этого уравнения возможны периодические решения как с частотой внешней силы со, так и с частотами па (гармоники) или ш/п (субгармоники); п - любое целое положительное число.

Если затухание контура а мало (добротность велика), а резонансная частота СОо близка к частоте внешней силы, то в первом приближении решение уравнения (8.81) можно искать в виде гармонического колебания

q{t)= Acqs (at - ср), (8.82)

где Л и ф - подлежащие определению амплитуда и фаза (постоянные) заряда.

Подстановка (8.82) в (8.81) приводит к следующим двум уравнениям: ( ffl2 js/ij ф j. 2асоЛ sin ф = E/L, (8.83)

( (о2 Л -f Л + Ьз А) sin ф -2а(о Л cos ф = 0. (8.84)

Слагаемое с частотой Зш было отброшено вследствие высокой избирательности контура.

Исключая далее из уравнений (8.83), (8.84) фазу [поскольку нас интересует зависимость Л (ш)], приходим к выражению

( озМ -t- «о Л + 4 Ьз Af -f 4а2 «2 2 £2/2 (8.85)

содержащему искомую зависимость между амплитудой Л и частотой а при заданных сОо, а и £.

Прямое решение этого уравнения относительно Л затруднительно, так как искомая амплитуда входит в него в шестой степени. Поэтому можно поступить следующим образом: задаваясь амплитудой Л, находим соответствующую частоту внешней силы ш, после чего строим график функции Л (ш), откладывая а на оси абсцисс, а Л на оси ординат.

Имея в виду такую последовательность вычислений, решаем уравнение (8.85) относительно со:

со = (о§ - {2а +иЬз Л) ± УЕ/А -4а al + 2а {2а- 1фз Л).

(8.86)

Заметим, что при ftg ->0, а также при очень малых Л, т. е. когда нелинейность контура не проявляется, уравнение (8.85) приводит к обычному решению для амплитуды Л:

Л = £/(L К (« - «о) + 4а (8.87)

С увеличением \Ьз\ характер резонансных кривых Л (м) изменяется. В зависимости от амплитуды внешней ЭДС Е уравнение (8.86) определяет семейство кривых, изображенных на рис. 8.47. Амплитудные кривые «запрокидываются», и тем сильнее, чем больше Е.

Это явление можно объяснить изменением среднего значения нелинейной емкости в зависимости от Л. Действительно, из аппроксимации (8.80) вытекает следующее выражение:

Подставив (8.82), получим (при ф=0 и Ьд Л«о < 1)

С (ыс) Со

1л М 2 J.

1---- COS at

Рис. 8.47. Резонансные кривые контура с нелинейной емкостью (при Ьз>0)

Рис. 8.48. Двузначность АЧХ колебательного контура с нелинейной емкостью

В результате усреднения правой части по времени

2(0?

С увеличением А средняя емкость уменьшается (при йз>0) и соответственно увеличивается резонансная частота контура. При постепенном повышении частоты ЭДС, при приближении со к Шо (участок /-2 на рис. 8.48) из-за увеличения А резонансная частота «уходит» от со, чем и объясняется сдвиг максимума вправо. В точке /, в которой касательная к кривой А (ш) вертикальна, А (ш) скачком переходит на нижнюю ветвь кривой. При понижении частоты со наблюдается аналогичная картина, только в обратном порядке: скачок в сторону увеличения амплитуды наблюдается в точке П после монотонного изменения амплитуды на участке 4.

Таким образом, в области ш > (для 6> 0) имеется участок 2-3, на котором функция А (ш) двузначна. Это указывает на существование неустойчивости одного из состояний системы. Явление, подобное описанному, имеет место и при других формах нелинейной зависимости С (ыс). Различие, лишь в количественных соотношениях.

Для варикапа < О и C{uc)>Cg. Поэтому резонансные кривые в отличие от рис. 8.47 наклонены в сторону нижних частот. Если контур настроен на частоту, близкую к Шо = (>fn, где п - целое число, то создаются условия, благоприятные для выделения субгармоник. Подобный прием иногда используется для осуществления деления частоты.

В тех случаях, когда требуется по возможности точно определить амплитуду и фазу периодического решения нелинейного уравнения (8.82) с учетом гармоник и субгармоник, применяются различные методы анализа, основанные на принципе последовательного приближения.

8.15. ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА НА НЕЛИНЕЙНУЮ ЕМКОСТЬ. УМНОЖИТЕЛЬ ЧАСТОТЫ НА ВАРАКТОРЕ

Некоторые преобразования сигналов, рассмотренные в § 8.3-8.6, можно осуществить с помощью реактивных нелинейных элементов, - например основанных на нелинейной емкости р-п-перехода полупроводникового диода. Общее название подобных приборов - варикап. Варикап, предназначенный для работы в диапазоне СВЧ, называют варактором. Он выделяет значительную мощность в режиме умножения частоты.

При гармоническом воздействии е (t) в цепи с емкостью Снд возникает ток (t), содержащий гармоники с частотами nwi, что позволяет осуществлять умножение частоты.

Метод анализа спектра тока /нл (О аналогичен методу, использованному в § 8.3. В данном случае в основу анализа можно положить нелинейную вольт-кулонную характеристику варактора

qqo + bie + be + .-. + be", (8.88)

где bi = Со определяется выражением (8.4);

b2=.±idU/de%b3-L[-),... (8.89)

Применяя выражение (8.2) к ряду (8.88), находим ток через нелинейную емкость

,,, dq dq de , , „, de .

-+ЗЬзе+-...-{кЬ,е- i£ . (8.90)

dt dt

Рассмотрим структуру первых трех слагаемых этого ряда при е (t) = = Е cos ((Hit +9i) =£ cos % (t). Первое слагаемое

6i - -Co «1 E sin 1 (0 = -Co «1 E sin («11 + 9i) dt

соответствует току частоты через обычную линейную емкость Со. Второе слагаемое

226-= 2i»2£ cos pi (t) [-(OiEsin i{t)] = -ЬЩEin(2aJ + 2Bj) dt

(8.91)

вносит в спектр тока (t) составляющую с частотой 2a)i и амплитудой /(02 = bcoiE.

Третье слагаемое

Зйз А. = -Збз Е cos {t) [ -«i Е sin li (t)] dt

Приводится к виду

i*3i»i£! j3jj, (3( f 39)1 (8.92)

Из приведенных соотношений видна закономерность образования спектра тока £„л (t) при гармоническом воздействии. Как и для цепи с безынерционным резистивным элементом, слагаемые ряда (8.90) с четными степенями привносят четные гармоники, а слагаемые с нечетными степенями - нечетные гармоники. Наивысший порядок гармоник равен степени полинома k, аппроксимирующего вольт-кулонную характеристику. Постоянная составляющая в спектре тока отсутствует.

Функциональная схема умножителя частоты на варакторе представлена на рис. 8.49, а. Сопротивление полупроводникового материала и активная проводимость, шунтирующая нелинейную емкость варактора, этой схемой не учитываются.

Для частоты п-й гармоники тока (t) сопротивление нагрузки равно R, а для всех остальных частот сопротивление можно считать пренебрежимо малым (при достаточно высокой добротности контура).