Подставив это выражение в (8.21), получим окончательно

i(t)=-J-(cos<o/ -cosB), -9<o)i;<e. (8.22)

1 - cos 9

Основываясь на этом выражении, нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье для периодической последовательности импульсов, представленной на рис. 8.11. Вследствие четности функции i (t) относительно t 1см. (8.22)] ряд содержит одни лишь косинусоидальные члены. Применяя формулы (2.24) и (2.32), находим

i (t) d («О =--- f (cos at-cos 6) d Ш) =

я (1-cosG) -e 6

sin 9-9 cos 9

n(l-cosO) "-

/i = -- j" t (0 cos aid («0 = i!o3 0 J (cos (iit - cos 6) cos otd (cof) = -e 0

9 -sin9 cos9 iaoA\

n(l-cos9) • -

Аналогично можно получить общее выражение для амплитуды л- й гармоники

/ / 2 (sin 9 cos 9-п cos п9 sin 9) (8 25)

лп{п-1) (1-cos9)

Отношения

a,iQ)=J sin0-9cos9

(8.26)

я (1-cos 9) /„г п(1-cos9)

а2(в) = /2 т,

а„ (9)

называются коэффициентами соответственно постоянной составляющей, первой гармоники и т. д. (функции Берга).

Графики коэффициентов а,,, а, а, а также отношения Yi = а/а,, при изменении угла отсечки от 9 = О до 9 = 180° показаны на рис. 8.12. При 0 = 0 ток вообще равен нулю (нел1нейный элемент заперт на протяжении всего периода); при 9 = 180° отсеч1а тока отсутствует и режим работы становится линейным.

Цз рассмотрения графиков функций а„ (9) можно вывести важное заключение: при работе с углом отсечки меньше 180° отношение амплитуды первой гармоники к постоянной составляющей /о больше единицы. Видно, что с уменьшением О отношение

~ Jl- = 9 -sin 9 cos 9 ,g

«о /о sin9-9cos9

Рис, 8.11. Импульсный ток, соответствующий режиму, представленному на рис. 8.10

Рис. 8.12. Коэффициенты разложения импульсного тока в ряд Фурье в зависимости от угла отсечки О -»

160 в"

растет. Кроме того, с повышением номера гармоники максимумы функций а„ (6) перемещаются в область малых значений 0. Все эти обстоятельства существенно влияют на выбор режима работы нелинейного элемента при усилении колебаний, умножении частоты и при некоторых других-преобразованиях, которые изучаются в последующих параграфах данной главы.

8.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ БИГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ НА НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ

Представим колебание в виде суммы

с, (/) £, cos ((О,/ -+- е,) Е. cos ((.).,/ - е.,) = £, cos 1р, (f) -f

-f Е, cosv;., (0. (8.28)

Подстановка (8.28) в ряд (8.8) приводит к следующим результатам: для линейного члена ряда

а,е,(/) = а,Е, cosip, {t) 4 аЕ. cosa (tY (8.29)

для квадратичного члена ряда

аг el {() = а-21 £, cos 1J4 U) + Е cos (i)f = a., cos (t) -{-аЕ к У cos t2 (/) + 2a, £j Е.г cos i\ (t) cos (0 = 2 (£? + Ц) + /2 2 ? X > cos 2 (<o, / + Й,) 4- 2 a, £ cos 2 ((O, / -f 9.,) + a, E, E. { cos [(«, -f 6.3) / 4-

-f (H, 9.,) -f cos((o, -o)2)/-f-(9, -(2)]}.

(8.30)

Первое слагаемое, не зависящее от времени, определяет приращение постоянного тока. Слагаемые с частотами 2mi и 2{02 представляют собой вторые гармоники от соответствующих компонентов входного сигнала. Слагаемые же с частотами w, -{--ш и coi-представляют комбинационные колебания.

Частоты, образуемые квадратичным слагаемым aei (t), можцо записать в форме

ш = то), 4: nto,, где коэффициенты тип могут принимать следующие значения: m = О, п = О -ч- со О,

/гг = 2, п = О 0) =-- 2о),, 1

} гармоники второго порядка;

т = 0, «з2-со=2со.г.

rn - 1, /г = 1 -> w = (Uj ± - комбинационные частоты второго порядка.

Проделав преобразование, аналогичное (8.30), над кубическим слагаемым (t), убедимся, что это слагаемое вносит в спектр частоты ю ~ = mwi ± nti)2 при следующих значениях тип:

гармоники первого порядка; гармоники третьего гюрядка;

m = 1, л = О->ш = o)i, m = О, rt = 1 0) = С02, m-3, rt = 0-)-w -За>1, т - 0, rt -3->-u) = 3(0.2, т=\, n = 2->(rt = Wi ± 2(02, I комбинационные частоты третьего т=г2, л = 1 0) = 2(0i ± ft>2.) порядка.

Приведенных выражений достаточно для установления закономерности образования частот гармоник и комбинационных колебаний при бигармони-ческом воздействии на нелинейный элемент:

слагаемые ряда (8.8) четной степени привносят в спектр тока гармоники четных порядков [как и в случае воздействия одного гармонического колебания (см. § 8.3)1, и, кроме того, комбинационные частоты четных порядков;

слагаемые ряда (8.8) нечетной степени привносят гармоники и комбинационные колебания нечетных порядков.

Из предыдущих выражений видно, что число р = т -\- п определяет порядок колебаний, причем максимально возможный порядок рах = k, где k степень полинома, аппроксимирующего нелинейную характеристику.

Содержание предыдущего и настоящего параграфов показывает, что нелинейная цепь преобразует спектр входного сигнала: возникают гармоники на кратных частотах и различные комбинационные колебания.

Принцип работы ряда радиотехнических устройств основан на использовании тех или иных составляющих спектра тока на выходе безынерционного нелинейного элемента. Обобщенную структурную схему подобных устройств можно представить в виде сочетания нелинейной цепи и линейного фильтра.

На рис. 8.13 изображена схема, соответствующая «развязанным» нелинейному и линейному элементам, когда отсутствует обратная реакция выходного сигнала на ток в нелинейной цепи. На схеме, показанной на рис. 8.14, ток в нелинейной цепи (t) зависит как от входного сигнала е (t), так и от напряжения wbix (О- Нелинейная функция / (е), описывающая характеристику нелинейного элемента, зависит от его устройства и от режима работы. Через Z((o) обозначено сопротивление (комплексное) линейной частотно-избирательной цепи. Структура этой цепи, частотная характеристика и полоса пропускания выбираются в зависимости от назначения устройства.

e(f) о--

f(e,U(,b,x) Z((o) П

иЬыхФ

Рис. 8.13. Нелинейный четырехполюсник и избирательная пень для выделения полезных составляющих спектра

Рис. 8.14. То же, что на рис. 8,13, при наличии обратной реакции

2.30