Действительно, поскольку спектральной функции W (со) соответствует корреляционная функция

/?Лт) I U7,(co)e-»Mco, (7.4)

- ОО

а спектральной функции /( (со) -

Rgi)- J /((со)е-"Мы, (7.5)

i -оо

т. е. корреляционная функция импульсной характеристики g (t) [см., например, (2.136), в которой нужно (со) заменить на (со)], то произведению спектральных функций Ws (w) и (со) соответствует свертка функций Rs (т) и Rg (т) [см. (2.64)1

.вых(т)- J /?Л)/?(Т-Х)Х. (7.6)

- оо

Таким образом, по заданным корреляционным функциям R (т) и Rg (т) определяется корреляционная функция на выходе R jJt), после чего находится энергетический спектр

1.вых(со)= j /?.вых(т)е-"Мт. (7.7)

- 00

Особый интерес представляет случай , когда процесс на входе является белым шумом. В этом случае Wjx i) = - const и в соответствии с (7.3) и (7.5)

авых(т) = о- f (M«)e»do) = W„i?(T). (7.7)

- сю

Выражение (7.7) можно применять и в тех случаях, когда энергетический спектр Ws (со) равномерен лишь в полосе прозрачности цепи.

Итак, ни спектральный, ни корреляционный анализ прохождения стационарного случайного процесса через линейную цепь с постоянными параметрами не связан с какими-либо трудностями.

7,3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СОБСТВЕННЫХ ШУМОВ В РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЯХ

При анализе передачи сигналов по радиоэлектронным цепям наряду с неизбежными искажениями формы сигналов необходимо учитывать также и собственные шумы цепи. Эти шумы, накладываясь на сигнал, ограничивают информационную емкость последнего. Проблема шумов особенно актуальна при усилении слабых сигналов.

В радиоэлектронных устройствах имеются два основных источника шумов: дискретная структура тока в усилительных элементах (транзисторы, электронные лампы и т. д.) и тепловое движение свободных электронов в проводниках электрической цепи.

Рассмотрим первый источник на примере дробового эффекта, присущего электронному току в усилительных приборах. Этот ток представляет собой

Рис. 7.2. Спектральная плотность Gi(£o) одиночного импульса и энергетический спектр Wi((o) случайного процесса

совокупность импульсов, каждый из которых обусловлен переносом заряда одного электрона. Полный ток, являющийся суммой очень большого числа перекрывающихся, расположенных случайным образом на оси времени импульсов, представляет собой стационарный эргодический случайный процесс, для которого справедлива центральная предельная теорема . Поэтому распределение электронного тока можно считать нормальным с плотностью вероятности

у2л Oj

(7.8)

Постоянную составляющую тока /о и среднюю мощность флуктуационной составляющей ст можно определить с помощью следующих рассуждений.

Пусть среднее за 1 с число (мпульсов тока равно k. Так как каждый импульс переносит заряд одного электрона е, то полное количество электричества, переносимое в среднем за 1 с, равно kie. Это и есть постоянная составляющая тока. Таким образом,

/о =

Введем в рассмотрение спектральную плотность Gj (со) одиночного импульса тока 4 (i - 4), обусловленного переносом заряда е одного электрона (tft - момент вылета электрона). Независимоот формы этого импульса значение Gi (со) при со = О равно площади импульса см. (2.55)1:

Gi(0) = f iAt-t,)dt = e.

(7.9)

Длительность т импульса ie (t) зависит от геометрии электронного прибора, от напряженности электрического поля в междуэлектродных промежутках и т. д. Ширину спектра импульса в грубом приближении можно приравнять 2/xg. Таким образом, модуль спектральной плотности импульса

{t - 4) можно представить в виде графика, показанного на рис. 7.2. Максимальная ордината

Энергия одного импульса по формуле Парсеваля

j G?(co)do3,

а суммарная энергия ki импульсов за 1 с, т. е. средняя мощность процесса (при сопротивлении 1 Ом),

(7.10)

1 См. § 4.2, п. 3.

i(t)

+ --о o-

г-о-

G\ (со) отдельных импульсов, образующих слу-

(7.11)

21X,

(7.12)

Рис. 7.3. Транзисторный (а) и ламповый (б) усилители и единая схема замещения для флуктуационного тока (в)

Первое слагаемое в правой части (7.10) определяет мощность флуктуационной составляющей тока, второе слагаемое - мощность постоянной составляющей /(,.

Из выражения (7.10) вытекает, что энергетический спектр флуктуационной составляющей электронного тока совпадает по форме со спектральной плотностью энергии чайный процесс

U7,.(co) = feiG?(co).

Примерный вид Wi (со) представлен на рис. 7.2.

Учитывая, что к- = /о/е, а также то, что в пределах полосы частот имеет место равенство (7.9), получаем*

Г,(ш)«е/о, 0<1ш\<1/т,.

Таким образом, приходим к выводу, что в указанных пределах дробовой шум можно считать белым шумом.

Выражения (7.8) и (7.12) определяют основные статистические характеристики дробового тока.

Теперь нетрудно выявить статистические характеристики напряжения шума на выходе цепи, содержащей «шумящий» элемент. На рис. 7.3, а и б изображены схемы транзисторного и лампового усилителей, а на рис. 7.3, в- единая схема замещения для флуктуационного тока i (t). Входные зажимы база - эмиттер (соответственно сетка - катод) соединены накоротко, чтобы подчеркнуть отсутствие внешнего воздействия на усилитель. В качестве источника шума в схеме замещения показан генератор тока i (t), статистические характеристики которого р (i) и Wt (со) были определены выше.

Напряжение шума и (t), создаваемое на линейном нагрузочном элементе Z „ (о)), распределено, как и ток i (t), по нормальному закону

-ехр -- .

Спектральная плотность случайного процесса и (t) определяется соотношением

U7„ = \Fi(co) Zl (со)

р{и):

(7.13)

(7.14)

[ср. с (7.2); в данном случае вместо безразмерной передаточной функции К (о)) фигурирует сопротивление 2„ («)].

Применяя к (7.14) преобразование (4.39), можно определить корреляционную функцию напряжения шума на выходе усилителя, а также величину Стц, т. е. среднеквадратическое напряжение шума.

* В технической литературе также распространена формула Wi (w) = 2е/о, при выводе которой среднюю мощность of относят только к положительным частотам.