cas<f>(t,)

Рис. 4.3. Плотность вероятности гармонического колебания со случайной амп- X литудой

График функции р (х; tj) для фиксированного значения представлен на рис. 4.3.

Математическое ожиданир

M[x{h)]

ЛтяхС08г)(/,)

Далее,

Mlxti)]

Лщах COSif (/,)

Наконец, дисперсия

max<=°*<

j" хМх-ЛхС082г1)(?,).

D, (Л)-- М \x4i,)] -\М \х = 4 С082г5 (/,)-

--- ЛахС05Ч(1) = -maxC0s2xl)(/,).

(4.21)

ский.

Рассматриваемый случайный процесс нестационарный и неэргодиче-

2. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ ФАЗОЙ

Пусть амплитуда и частота гармонического сигнала заранее достоверно известны, а начальная фаза 6 - случайная величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в интервале от -л до л. Это означает, что плотность вероятности начальной фазы

/?в Ф) = 1/2я, -я<е<л. (4.22)

Одну из реализаций случайного процесса х (t), образуемого совокупностью гармонических колебаний со случайными фазами (рис. 4.4), можно определить выражением

х (t) = cos (oj„? + е) = = cosrl), (/). (4.23)

rSt Полная фаза колебания f{t) - >- = «о? + 9 является случайной вели- \ чиной, равновероятной в интервале \ от «о - л до о)„/ -- п. Следователь- .

oot но,

Рис. 4.4. Совокупность гармонических колебаний со случайными фазами

/7ф(г1)) = 1/2п, (Оо-"<< <о)о? + я. (4.24)

Рис. 4.5. К определению плотности веро- Рис. 4.6. Плотность вероятности гар-ятности гармонического колебания со ионического колебания со случайной случайной фазой фазой

Найдем одномерную плотность вероятности рх (х) случайного процесса X (t). Выделим интервал х, х + dx (рис. 4.5) и определим вероятность того, что при измерении, проведенном в промежутке времени от до + dt, мгновенное значение сигнала окажется в интервале х, х + dx. Эту вероятность можно записать в виде Рх (х) dx, где рх (х) - искомая плотность вероятности. Очевидно, что вероятность рх (х) dx совпадает с вероятностью попадания случайной фазы колебаний в один из двух заштрихованных на рис. 4.5 фазовых интервалов. Эта последняя вероятность равна 2/? (г:) dif). Следовательно,

pAx)dx 2рф (г)) dt5 (2 2n)dt, откуда искомая функция 1

pjx) - -

- 1<л-<1.

isin\)( ]1-cosii \/\ - x

Таким образом, окончательно

рАх) 1 л I-x -1 1.

(4.25)

График этой функции изображен на рнс. 4.6. Существенно, что одномерная плотность вероятности не зависит от выбора момента времени t, а среднее по множеству (см. (2.271.7) в [28])

М \x{t)\ J xpx(x)dx - 1

dx - О

(4.26)

совпадает со средним по времени

7/2 Т/2

x{t) -Л1т±

-7/2

dt=Um-

co$i(ugt + Q)dt 0.

- r/2

(Это справедливо для любой реализации рассматриваемого случайного процесса.)

Абсолютное значение производной берется на том основании, что плотность вероятности является неотрицательной величиной.

Корреляционную функцию в данном случае можно получить усреднением произведения х (ii) х (t) по множеству без обращения к двумерной плотности вероятности [см. общее выражение (4.8)]. Подставляя в (4.8)

X (tl) X (/2) = cos (©01 + 9) cos (Шо + 6) = Va {cos ©о (2 - i) -f cos (0)0 (1 + Q + 281}

a также учитывая, что первое слагаемое cos «о (h - h) является детерминированной величиной, а второе слагаемое при статистическом усреднении с помощью одномерной плотности вероятности (8) = ]/2л [см. (4.22)] обращается в нуль, получаем

Rx{ti, g = М [х (/1) л: (У) = V2 cos ©о-г. (4.27)

Такой же результат получается и при усреднении произведения Хц (t) Xf, (t -f т) по времени для любой реализации процесса.

Независимость среднего значения от ti и корреляционной функции от положения интервала т = ?2 - tna оси времени позволяет считать рассматриваемый процесс стационарным. Совпадение же результатов усреднения по множеству и времени (для любой реализации) указывает на эргодичность процесса. Аналогичным образом нетрудно показать, что гармоническое колебание со случайной амплитудой и случайной фазой образует стационарный, но не эргодический процесс (различные реализации обладают неодинаковой дисперсией).

3. ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для помех канала связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается от нормального, часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плотность вероятности нормального процесса определяется выражением

р{х) = 1 ехр У2п

(4.28)

В данном параграфе рассматривается стационарный и эргодический гауссовский процесс. Поэтому под и а можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса.

Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений изображены на рис. 4.7. Функция р (х) симметрична относительно среднего значения. Чем больше а, тем меньше максимум, а кривая становится более пологой [площадь под кривой р (х) равна единице при любых значениях aJ.

Широкое распространение нормального закона распределения в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых.

Это положение, сформулированное в 1901 г. А. М. Ляпуновым, получило н азвание центральной предельной теоремы.

Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым дви-

* Ковариационная функция рассматриваемого процесса совпадает с корреляционной функцией, так как М [х {t)] = 0.