полной характеристикой является двумерная плотность вepoятнocти р [Xi, Хо\ tx, t-i), позволяющая учитывать связь значений х и х, принимаемых случайной функцией в произвольно выбранные моменты времени ti и /г-

Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является /г-мерная плотность вероятности при достаточно больших п. Однако большое число задач, связанных с описанием случайных сигналов, удается решать на основе двумерной плотности вероятности.

Задание двумерной плотности вероятности р (Xi, х; ti, t) позволяет, в частности, определить важную характеристику случайного процесса - ковариационную функцию

KAtut,)M\x{ti)xm. (4.6)

Согласно этому определению ковариационная функция случайного процесса X (t) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции X (t) в моменты и t.

Для каждой реализации случайного процесса произведение х (/j) х (t.) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плотностью вероятности р (х, х, t, t. При заданной функции р {х, х\ t, t) операция усреднения по множеству осуществляется по формуле

оо оо

Кх {ti, 2) = J j" Xi p (xi, Xi\ ti, ti) dxi dxi. (4.7)

-oo - 00

При 4 = ti двумерная случайная величина XiX. вырождается в одномерную величину xl - xl- Можно поэтому написать

Кх (/х, /1) =1х\р {Xl- ti) dxi М [х (01. (4.7)

- оо

Таким образом, при нулевом интервале между моментами времени t и /2 ковариационная функция определяет величину среднего квадрата случайного процесса в момент t = t.

При анализе случайных процессов часто основной интерес представляет его флуктуационная составляющая. В таких случаях применяется корреляционная функция

Rx {tv Q - М {[X (ti) -m, (ti)] [X {t.)-m, {t,)\). (4.8)

Подставляя в (4.7) x {t- - {t-d вместо x {t) и x (t) - Шх (t) вместо X (t), можно получить следующее выражение:

Rxiti, Kxiti, t)-mAti)m{t).

При ti = t.2 = t выражение (4.8) в соответствий с (4.4) определяет дисперсию случайного процесса Dx (t). Следовательно,

KxU, t)-mUt)Rx{t, l)=DAt).

Исследование случайного процесса, а также воздействия его на радиоцепи существенно упрощается при стационарности процесса.

1 Здесь и в дальнейшем одной и той же буквой р обозначаются плотности вероятности различных случайных функций. В некоторых разделах, если это необходимо для устранения путаницы, будут применяться индексы, уточняющие параметр, к которому относится данное распределение. Например, при рассмотрении случайного процесса X (t) = А (/) cos 6 (/) будут применяться обозначения Рх (х), " Ре (®)-

Случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность вероятности р {х, х, х, ti, U, ?п) произвольного порядка л зависит только от интервалов -t, tg-t, tn-ti и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t.

В радиотехнических приложениях теории случайных процессов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности (случайный процесс, стационарный в широком смысле). Выполнение этого условия позволяет считать, что математическое ожидание, средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от самих моментов времени t и t, а только от интервала между ними т = ?2 - h-

Стационарность процесса в широком смысле можно трактовать как стационарность в рамках корреляционной теории (для моментов не выше второго порядка).

Таким образом, для случайного процесса, стационарного в широком смысле, предыдущие выражения можно записывать без обозначения фиксированных моментов времени. В частности.

; = M(x)= J" xp(x)dx, (4.9)

KA)Mlxit)x{t + T)], (4.10)

/?,(т) = /(,(т)-т!, (4.11)

D,KjO)-ml = RAO)=al (4.12)

o,=VKAO}-tnl (4.13)

Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается при использовании условия эргодичности процесса. Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.

Условие эргодичности случайного процесса включает в себя и условие его стационарности. В соответствии с определением эргодического процесса соотношения (4.10)-(4.13) эквивалентны следующим выражениям, в которых операция усреднения по времени обозначена чертой:

J(7) = lim Г xit)dt, (4.14)

- г/2 Г/2

/(„(т) = Ит- x{i)xit + x)dt, (4.15)

- 7/2

?,(т)=c.(т)-(x(0) (4.16)

D,-~-KAO)~iW)r-ol, (4.17)

С,УКАО)-(Х{0}\ (4.18)

Если X (t) представляет собой электрический сигнал (ток, напряжение).

то X (t) - постоянная составляющая случайного сигнала, Rx (0) = (О - средняя мощность флуктуации сигнала [относительно постоянной составляющей X (t)].

Выражение (4.15) внешне совпадает с определением (2.131) корреляционной функции детерминированного сигнала (периодического).

Часто применяется нормированная корреляционная функция

г,(т)=/?.

(4.19)

Функции Кх (т), /?ж (т) и Гу. (т) характеризуют связь (корреляцию) между значениями х (t), разделенными промежутком т. Чем медленнее, плавнее изменяется во времени х (t), тем больше промежуток т, в пределах которого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайной функции.

При экспериментальном исследовании случайных процессов используются временнйе корреляционные характеристики процесса (4.15)-(4.19), поскольку, как правило, экспериментатору доступно наблюдение одной реализации сигнала, а не множества его реализаций. Интегрирование выполняется, естественно, не в бесконечных пределах, а на конечном интервале Т, длина которого должна быть тем больше, чем выше требование к точности результатов измерения.

4.2. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ

Применение общих определений, приведенных в предыдущем параграфе, иллюстрируется ниже на нескольких характерных случайных процессах.

Наряду с обозначением случайного процесса символом X (t) будет применяться в том же смысле обозначение х (t), под которым подразумевается случайная функция времени. Как и ранее, х (t) обозначает -ю реализацию случайной функции х (t).

I. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДОЙ

Пусть в выражении, определяющем сигнал

X (t) = А cos (соо/ + Во) = Л cos \)j (/),

(4.20)

частота «о и начальная фаза б,, являются детерминированными и постоянными величинами, а амплитуда А - случайная, равновероятная в интервале от О до Ajnux величина (рис. 4.2).

Найдем одномерную плотность вероятности р (х; ii) для фиксированного момента времени t. Мгновенное значение х (ti) может быть любым в интервале от О до Ajnax cosip (/j), причем будем считат,, что cosip (ti) > 0. Следовательно,

р (х; ti) - 1 / Л,„ах cos г: (/j), О < л; < А„, cos (d).

Рис. 4,2. Совокупность гармонических колебаний со случайной амплитудой