Применяя формулы (3.94) и (3.97), получаем

5jx) = -Re j et«»+P<V2]e-i["o(<+t)+f5«+t)V2] (3.105)

Пределы интегрирования взяты с учетом условия одновременного существования функций а (О и а (< + т) (рис. 3.31).

С помощью несложных преобразований выражение (3.105) приводится к виду

Ва (т) =

V 2

т- •

cos Шо т

при 1 т1

2

при 1 т 1 > Ге/2.

(3.106)

Используя введенный в §3.7 параметр т [см. (3.38)] и учитывая, что prg = 2а)дГр = 2ят, приводим выражение (3.106) к более общему виду

Ва (т) = Т,

пт -тг- I i --

cos ©о

(3.106)

Множитель Vj/lTc = В а (0) = Э равен полной энергии рассматриваемого радиоимпульса (как и при импульсе с постоянной частотой заполнения, см. рис. 3.30, б).

Ва(Г)/Э

Щ I I

-1>

Рис. 3.32. Корреляционная функция ЛЧМ импульса

Таким образом,

Вд (Т) Вд (Т) Ва (0) Э

COS (ЛХ.

(3.107)

График этой функции построен на рис. 3.32 для параметра ш = 100 в предположении, что (лТ очень велико (масштаб выбран произвольно). Огибающая корреляционной функции образует весьма острый пик (при /п > 1), а частота заполнения постоянна и равна центральной частоте ©„ исходного радиоимпульса.

Рассмотренный здесь сигнал с большой базой т и его корреляционная функция представляют большой практический интерес для современной радиотехники.

3.12. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА

Пусть задан сигнал

а {t) = А (О cosij) (О - А (t) cos [щ( + в (t)],

(3.108)

спектр которого заключен в узкой полосе частот от щ до ©2 так, что модуль спектральной плотности Sa (©) имеет вид, представленный на рис. 3.33, а, причем в пределах полосы А©о спектр не обязательно симметричен относительно центральной частоты ©о = (<i + ©2)/2. Под узкополосностью сигнала подразумевается условие Д©о/©о = А/о о С 1- где А/о = Ашо/2я = = /2 - /1 - полоса частот, Гц.

Предполагается, что функция А (i) является простейшей огибак?щей, т. е. что Л (?) и ij) (?) отвечают соотношениям (3.60) и (3.61).

Если при дискретизации подобного сигнала исходить из ряда (2.114), то интервал между выборками должен быть не больше чем I/2/2. где /2 - наивысшая частота в спектре сигнала. Нецелесообразность такого подхода

Рис. 3.33. Спектр узкополосного радиосигнала (а) и комплексной огибающей этого сигнала (б)

очевидна, так как информация о сигнале заложена не в частоту /j (или /i), а в огибающую А (t) или в фазу 0 (t), которые изменяются во времени медленно с относительно низкими частотами модуляции. Желательно поэтому так преобразовать выражение (2.114), чтобы интервалы между выборками определялись фактической шириной спектра, т. е. величиной А/о, а не верхней частотой /а-

Для этого перейдем к аналитическому сигналу, соответствующему заданной функции а (t):

z„(0 = (0e* = 4(0e®*" е"» =A(Oe»• (3.109)

где комплексная огибающая A{t) = А (t) е С) представляет собой низкочастотную функцию, спектр которой Sa (Й) примыкает к нулевой частоте (рис. 3.33, б). Разложим комплексную функцию A{t) == А {t) ew по ортогональной системе

А (О- 2 с„ф„(/),

где базисная функция ф„ ( определяется выражением (2.115). Подставив этот ряд в (3.109), получим

2a(0-

S С„ф„(0

(3.110)

(3.111)

после чего исходное колебание а (t) определим как действительную часть функции Za (t):

(3.112)

a(0-=Re

2 с„ф„(0

Как видим, задача дискретизации высокочастотного колебания свелась к задаче дискретизации комплексной огибающей А(/). При определении наибольшего допустимого интервала между выборками в разложении (3.110) необходимо исходить из наивысшей частоты в спектре функции \(t). Из оНределения ©о как средней частоты в полосе А ©о очевидно, что эта частота, отсчитываемая от i2 = О, равна Д©о/2 или в герцах А/о/2. Следовательно, интервал между выборками не должен превышать

А< = 1/(2А/о/2) = 1/А/о, (3.113)

а функция фп (t) должна иметь вид

sin (Дмо/2) (<-гаДр sin пА{„ (t-пМ) (Ащ/2) (t-iiAt) " яД/о(/-"ДО

От аналогичной функции, использованной в §2.15, ф„ (t) отличается только заменой © на А©о/2. Следовательно, спектральная плотность Ф(Q) функции Фо (О равна 2я/А©о = 1/А/о в полосе частот IQI < А©о/2 (рис. 3.32), а спектральная плотность функции фп (О

(3.114)

Ф„(Й) =

Дсоо/2 О

е->пдш при I Q К

при 1Q1>.

(3.115)

Квадрат нормы функции ф„ (t) по аналогии с выражением, приведенным на стр. 60,

ф„Р=.я/0,5А©„= А/о. (3.116)