Как видим, выражение (3.60) определяет огибающую в виде линии, касательной к исходной функции в точках ее максимума и в случае гармонического колебания соединяющей два соседних максимума кратчайшим путем. Таким образом, выражение (3.60) определяет «простейшую» огибающую. Это свойство выражения (3.60) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале [см. (3.2), (3.3)].

Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных составляющих

а {t) = 2 («п cos oint + bn sin со„ t), (3.64)

ТО сопряженная функция

«1 (О = S («rt sin о)„ t -bn cos co„ t). (3.65)

Ряд (3.65) называется рядом, сопряженным ряду (3.64).

Если сигнал а (t) представлен не рядом (3.64), а интегралом Фурье

а (/) = -i- J [а (со) cos ai + b (со) sin со?] doj, (3.66)

то функция Oj (?) может быть представлена в виде интеграла

Uiit) =----- J [а (ш) sin О)?-& (со) cos О)?] dco, (3.67)

- оо

сопряженного интегралу (3.66).

Нетрудно установить связь между спектрами функций а (?) и (?). Так как при преобразовании гармонического колебания по Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность Si (о) сопряженной функции (t) не может отличаться от спектральной плотности S (о) исходной функции а (?). Фазовая же характеристика спектра Si (со) отличается от ФЧХ спектра S (о). Из сопоставления выражений (3.66) и (3.67) непосредственно вытекает, что спектральные составляющие функции Ui {() отстают по фазе на 90° от соответствующих составляющих функции а (?). Следовательно, при о > О спектральные плотности >8, (о) и S (о) связаны соотношением

Si (ш) = -iS (ш), О) > 0. (3.68)

В области отрицательных частот соответственно получается

Si (ш) = iS (со), со < 0. (3.69)

Вследствие изменения ФЧХ сопряженная функция (?) по своей с}юрме может сильно отличаться от исходной функции а (?).

После того как найдена сопряженная функция ai (?), можно с помощью выражений (3.60), (3.61) найти огибающую А (?), полную фазу if) (?) и мгновенную частоту узкополосного сигнала

а, (О

ю(?)-

dt dt

arctg

a{t)

a(t)ai (0-Qi(Oa (t) g щ

a(t) + al(t)

Выделив в найденной таким образом частоте w (?) постоянную часть coq, можно написать выражение

г; (?) - сОо? -f G (?) + 8„, (3.71)

в котором 6 (t) не содержит слагаемого, линейно зависящего от времени. Тем самым устраняется произвол в выборе «средней частоты» сигнала (Oq и соответственно функции 6 (t).

В заключение следует отметить, что в некоторых случаях выражения (3.60)-(3.69) используют также и для широкополосных сигналов, когда понятие «огибающая амплитуд» теряет свой обычный смысл. При этом отказываются от требования, чтобы огибающая А (t) касалась кривой а (t) вблизи точек, в которых а (t) имеет амплитудное значение.

Поясним применение преобразования Гильберта для определения огибающей, фазы и мгновенной частоты сигнала на следующем примере.

Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний с близкими частотами и о)г

a(t) = Al cos o)i/ + cos lat (3.72)

и требуется a (t) представить в форме

а (О = Л (О cos [о)„/ + е (О + во). (3.73)

Расстройка До) = о)2 - Wi полагается настолько малой по сравнению с (Ыг + o)i)/2, что колебание а {t) можно считать узкополосным.

Что следует в данном случае подразумевать под Л (t), о)„ и 6 (t)? Непосредственно из выражения (3.72) трудно выявить структуру огибающей и фазы результирующего колебания а (t). Используем поэтому выражения (3.60), (3.61). Сопряженная функция

U) - 1 sin (1 + 2 sin 0)3/.

Применяя формулу (3.60), находим огибающую сигнала а (t)

Л (/)== У(Л1 cos 03, г--Л2С05о)2г)+(1 sinW] i-f Лг sin шз 0 =

= Л1у14-/2 ..2/ cos До)Л (3.74)

где k ~ А/А; Дш = 0)3 - о),, причем для определенности считается, что k < 1 и До) > 0.

Полную фазу суммарного колебания находим по формуле (3.61):

а. It) sin О),/-fA sin 0)2

ib(r) = arctg-- =arctg ---=-. (3.75)

a{t} cos 0) i+ cps 0)3 г

Применяя далее формулу (3.70), после несложных алгебраических и тригонометрических преобразований приходим к следующему выражению для мгновенной частоты:

+,.+1с1Гдсо. ==О).-ЬДсог,(0, (3.76)

mt)k + cosAc./

Так как постоянная составляющая функции г\ (i) равна нулю, то входящие в выражение (3.71) средняя частота о)„ и функция О (t) будут

o)o=Wi, в(1) = Аы { Г](х)с1х. (3.78), (3.79)

Итак, на основании (3.74), (3.76) и (3.78), (3.79) выражение (3.73) приводится к

виду

0)1 / + Д(.) ("л {x)dx , (3.80)

где п (t) определяется выражением (3.77),

При этом исключаются произвол и неопределенность в выборе огибающей и фазы суммарного колебания.

Графики функции )] (t), характеризующие изменение частоты, приведены на рис. 3.24 для некоторых значений к.

и (t)=:Aiyi+k + 2k cos Ah,t cos

Для сокращения выкладок положим, начальные фазы Gj = 62 = О, Зак. 1326 97

ZiOAat

Рнс. 3.24. Мгновенная частота колебания, являющегося суммой двух гармонических колебаний

Рис. 3.25. Сумма двух гармонических колебаний с близкими частотами /i и /а при одинаковых амплитудах

При k <С 1, т. е. при наложении слабого колебания cos Шгна сильное Л, cos w,/, выражения (3.74)-(3.77) значительно упрощаются:

Л (/) = Л (1cos До)/), a)o-=Wi, (О (О а)1--*Дш cos До)/. i)(0~Wi/-J-

ffesinAcoi. (3.81)

В этом случае огибающая, частота и фаза суммарного колебания изменяются по гармоническому закону с частотой Дш = IcOj - WiJ относительно своих средних значений соответственно А-, щ и щ1.

При k = 1 функция Г1(/) в соответствии с (3.77) принимает постоянное значение

I -4-cos Дсо/ 1 „ „„

п (П =--- = - (3.82)

2(1+со5Да)0 2

на всей оси времени, кроме точек Дсо/ = ±(я, Зя, ...), где ц (t) = оо. Эти выбросы соответствуют производным скачкообразно изменяющейся фазы при переходах огибающей биения через нуль.

Таким образом, в интервалах между указанными моментами частота суммарного колебания щ -j- Дсо/2 = (щ -f Ш2)12.

К этому результату можно прийти непосредственно из выражения (3.72), которое при Л, = Лг подстановкой (Oj ~ ш„ Да)„, со, = соо - Дсор легко приводится к виду

» г, < 0)2 -О)] шгЧ-Wi а (t) 2Л, 2 cos До)о / cos сОо хл -- о--•

График колебания а (/) при k =- 1 представлен на рис. 3 25.

Период функции cos Да)о/= cos 2я равен 2. (/ - /,). причем в точках

перехода через нуль эта функция, как отмечалось выше, меняет свой знак. Если не учитывать перемену знака, т. е, определять огибающую амплитуд функцией (со, - ш,)

I cos-2-то период биений будет вдвое короче, как показано на рис. 3.25.

Поэтому частота биений равна /з - Д.

Формулы (3.74)-(3.82) имеют большое прикладное значение, так как в физике и технике часто приходится иметь дело с биениями двух гармонических колебаний.

3.10. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ

В электротехнике при анализе воздействия гармонического колебания (напряжение, ток) на линейную цепь его принято представлять в (}юрме

а (О - Ло cos (соо t + во) -~ Ло Re [е ] Re Ло е»о ] (3.83)

а (О Ло sin (соо t + во) - Ло Im [е + - Im [А, е"»» (3.84)

где До = Л(,е» - комплексная амплитуда.