4(M-w) тМ 1

Рис. 3.23. Спектр колебания прн одновременной модуляции амплитуды н частоты гармонической функцией

1. Обе функции, как А (t), так и 6 (), четные относительно t: (О = Ао(\ Л- М. cos Щ, Q (t) = т cos Qt, М < I; m < 1. Выражение (3.52) принимает вид а (i) = Л„ (1 -f М cos Qt) cos [(ot -Ь tn cos Qt].

Полагая, как и в § 3.3, справедливыми приближенные равенства cos (m cos Qt) « гк 1, sin (m cos Qt) =s /п cos Q, приводим это выражение к виду, аналогичному (3.32):

а(0 = Л

(1 -f М cos Qt) cos шо

/И \

4-c0s Q<4- - cos 2Q0 j sin Шо

cos ш„ [cos (о)о4-й) / + cos (а)„ -Й) t] - m

- sin(x>ot-Jr - sin (o)o-f

+ Q)-f --sin(coo~Q)i

[sin (0)0 + 2) i + sin (coo -2Q) t]

Суммируя квадратурные составляющие cos lut и (тЛ1/2) sin сОоЛ получаем для амплитуды результирующего колебания на частоте сОо следующее выражение: "l/l -f {tnM/2) при Ло = 1. Аналогичным образом находим амплитуду 0,5 "ум- "Ь для колебаний с частотами Шо -Ь Й и /пМ/4 для частот сОо ± 2Й. Спектр колебания а (t), представленный на рис. 3.23, а, симметричен.

2. Функция 6 {}) - четная, а А (t) содержит четную и нечетную составляющие:

А (t) = Ло (1 -f М sin Qt), в (t) = mcosQt, М I; tn < 1.

Выкладки, аналогичные предыдущим, приводят к следующим результатам: амплитуда равна 1 на частоте шо! /2 ~ на частоте шо - Q; 1/2 {М + tn) на частоте СОо - ! ttiM/4 на частотах соо ± 2Й. Спектр колебания для рассматриваемого случая представлен на рис. 3.23, б. Симметрия спектра нарушается в данном примере из-за неодинаковых амплитуд колебаний верхней и нижней боковых частот.

Асимметрия спектра при амплитудно-угловой модуляции может рассматриваться как показатель неправильной работы устройства, осуществляющего AM; перекос спектра указывает на то, что полезная AM сопровождается паразитной угловой модуляцией.

3.9. ОГИБАЮЩАЯ, ФАЗА И ЧАСТОТА УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА

Современное состояние радиотехники характеризуется непрерывным совершенствованием способов передачи информации. Изыскиваются новые виды сигналов и новые способы их обработки.

Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в результате одновременной мо-

дуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по очень сложному закону.

В любом случае предполагается, что заданный сигнал а (t) представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все спектральные составляющие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой coq полосе.

При представлении подобных сигналов в форме

а (О = Л (?) cosa5 (О (3.57)

возникает неоднозначность в выборе функций Л (?) и ij5 (?), так как при любой функции p (?) всегда можно удовлетворить уравнению (3.57) надлежа-щи.м выбором функции Л (?).

Так, простейшее (гармоническое) колебание

а (?) = Ло cos oij (3.58)

можно представить в форме

а (?) = Л (?) cos со?, (3.58)

где со = соо + Асо.

В выражении (3.58) огибающая Л (?) в отличие от Л ц является функцией времени, которую можно определить из условия сохранения заданной функции а (?)

Л о cos coq? = Л (?) cos (соо -f Aw) ?,

откуда

cos (coo-f- Асо) t cos Дсо? cos COo i-sin Acosin coo t

(3.59)

cos Aco/ -sin Acoi.tgcoo i

Из этого примера видно, что при нерациональном выборе ij3 (?) (со? вместо соо?) очень усложнилось выражение для Л (?), причем эта новая функция Л (?) по существу не является «огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую а (?) (вместо касания в точках, где а (?) имеет максимальное значение). Оперирование подобной «огибающей» не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как может привести к ошибочным практическим выводам (например, при рассмотрении работы амплитудного детектора).

Неопределенности можно избежать при представлении Л (?) и гз (?) с помощью следующих соотношений:

Л(?) =Ка(?) + аМО, w(0=arctg[ai(0/«(0]. (3-60), (3,61)

где fli (?) - новая функция, связанная с исходной соотношениями

оо оо

г dT, а(?)-- f dx. (3.62), (3 63)

л J x-t л J x-t

- oo -oo

Эти соотношения называются преобразованиями Гильберта, а функция Oi (?) - функцией, сопряженной (по Гильберту) исходной функции а (?).

Для выяснения смысла выражений (3.60), (3.61), а также требования, чтобы Oi (?) являлась функцией, сопряженной по Гильберту исходной функ-

ции а (t), рассмотрим сначала некоторые свойства А (t), вытекающие непосредственно из выражения (3.60) и справедливые при любой функции Oi (t).

Прежде всего мы видим, что в точках, где функция ai (t) равна нулю, имеет место равенство А (t) = а (t).

Дифференцируя (3.60), получаем

, dA da , da

= а - + ai -

dt dt dt

Отсюда видно, что при = О, когда А (t) = а (t), имеет место дополнительное равенство

dA da dt ~ dt

Следовательно, в точках, в которых (t) = О, кривые А (t) и а (t) имеют общие касательные.

Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно было рассматривать А (t) как «простейшую» огибающую быстро осциллирующей функции а (t). Необходимо потребовать, чтобы кривая А (t) касалась кривой а (t) в точках, в которых последняя имеет амплитудное или достаточно близкое к нему значение. Иными словами, в точках, где (t) обращается в нуль, функция а [t) должна принимать значения, близкие к амплитудным. Это условие как раз и обеспечивается, если функция ai (t) является сопряженной по Гильберту функции а {(). Это свойство преобразований Гильберта нагляднее всего иллюстрируется на примере гармонического сигнала.

Пусть а (О = cos соо, --оо <: / <; оо. Найдем сопряженную функцию «1 (/). Применяя общее выражение (3.62) и переходя к новой переменной X = X - t, находим

2i (t) ---\---dt =---cos СОо t

я J т-t л

.- oo oo

H--smcoo \ --dx.

я . J , X .

cos (Op X X

Известно, что

cosx J

-dx = 0

(в смысле главного значения) и smx

dx = n.

Следовательно, функции а (t) = cos соо соответствует сопряженная функция (t) = sin (Unt, которая проходит через нуль в моменты, когда исходная функция проходит через максимум. Аналогичным образом нетрудно убедиться, что ()ункции а () = sin coq, -оо<:<:оо, соответствует сопряженная функция Ci (/) = -cos соо.

Подставляя а (t) = cos соо и ai (t) = sin (Ogt в выражение (3.60), получаем для огибающей гармонического колебания общепринятое выражение А (t) = /"cos2 (Mgt + sin coo = 1.

Аналогичный результат получается и для а (t) - sin соц, (t) =

- cos iCif)t.