Перейдя к новой переменной Q = о ~ сОд, получим

In S (Q) е" dQ е"»" =Cs (q) е"»",

где Cs (q) - кепстр исходного сигнала s (/).

Итак, для определения кепстра Са (q) модулированного колебания а (1) достаточно умножить кепстр Cs (q) модулирующей функции на е""". В этом смысле эффект модуляции- домножение сигнала на несущее колебание проявляется одинаково для а{1) иСа(9).

4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛА

Сигналу S (/)=-1 соответствует спектральная плотность S (ы) = iwSi (ы) и Логарифм

1п S (со) = In (tw) + In Si (w). Поэтому

с»

Csiq) = J "" + {?) = Сд„ф {q) + Cn (q).

- OO

При дифференцировании сигнала (/) к кепстру С (q) добавляется кепстр Сдиф (q)y который запишем в форме

Сдиф (9)=- j* Ш

1п {ш)

Спектральной плотности (In i(o)/jw соответствует opигинaл - (у -\- \п q) х X и (q), где V = 0,577... - постоянная Эйлера; и (q) - единичный скачок в момент

1 п (г(о)

соответствует производная

q=0, а произведению ш

- - [(V + ln?) и (q)]= -dq

Таким образом, окончательно

(V + ln<?) б (q)+ -u{q) Я

= СдИф (<?)•

с. (9)=-

(V+ln q)b(q) + - u(q)

+ Csi (9).

При интегрировании сигнала получается аналогичный результат, изменяется лищь знак перед Сдиф (?).

Отметим, что дополнительный кепстр, обусловленный дифференцированием или интегрированием, не зависит от исходного сигнала.

5. СЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ

По заданным сигналам Sj (/), (t) и их кепстрам Cji (q), Cs2 (<?) невозможно составить общее выражение для кепстра суммы s (/) = (t) + (t). Необходимо предварительно вычислить результирующую спектральную плотность S (ы) = Si (w) + -)- Sz (со). Исключением является случай, когда (t) и (t) полностью совпадают по форме и отличаются лишь по величине и по положению во времени, благодаря чему их сумма S (/) может быть представлена в виде свертки. Этот случай был рассмотрен в § 16.6.

6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ СИГНАЛОВ

Для нахождения кепстра сигнала s (/) = Sj (t)- (t) требуется знание свертки их спектров Si (со) и Sj (со), поэтому установить прямую связь между С (q), Cja (?) и кепстром Cs (q) не представляется возможным.

1 См., например: Справочник по специальным функциям/Под ред. М. Абрамови-ца и Н. Стигана. -М.: Наука, 1979.

Приложение 1

ПРАВИЛА ПЕРЕХОДА ОТ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПО ЛАПЛАСУ Ls{p) К СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ 8(ш)

Пусть заданному сигналу s (t) соответствует изображение по Лапласу Lj (р), которое не имеет особенностей в правой р-полуплоскости, но имеет единственный полюс в точке = т на линии т. На основании теоремы Коши можно показать справедливость равенства

С+/00 too

S (О j Ls (р) еР dp = resp + j ц (т) е» d (т), О 0.

c-ioo -/оо

{П1.1)

Смысл этого равенства в том, что контур интегрирования совмещается с линией to) и обходом справа особой точки по полуокружности бесконечно малого радиуса г. При обходе особой точки по замкнутому кругу интеграл равен вычету res, а при обходе полуокружности (/-0) получается reSp.

Проиллюстрируем применение выражения (П1.1) на примерах простейших сигналов, изображения (р) которых имеют полюсы на оси ш.

1. s(0=l, t>Q; Ls(p)=\lp. Полюс pi = О, reSpQ = 1;

ЧО = -у+" f L.,(!»)edtu. (П1.2)

- оо

Спектральная плотность первого слагаемого в правой части (П1.2) равна яб (ы) [см. (2.97)], а второе слагаемое является результатом интегрирования сплошного спектра соответствующей сигнум-функции [см. (2.99)]. Таким образом, замена в Lg (р) переменной р на (Ы в итоге приводит к выражению для спектральной плотности единичного скачка

S (о)) = яб ((о) + 1/ш,

совпадающему с (2.100).

2. s(0 = cos(Oo/, t>0; Ls(p)=p/((i>l+f).

Полюсы Pl,2= ± (Ыо,

ре" 2р

ре-Р 2р

Р=- (0)0

Спектральная плотность

S ((О) =-у [б (о)-(Оо) -t-б ((o + (Oo)l + ia)/(a)e-o)2). 3. s(/) = sin(Oo />0; (р) = о)о/(со2 + р2).

Полюсы Pi,2= ± 1Щ,

=т""=-т •

S((0) = -I [б (ш-(0„)-б ((0+(Оо)]+0)о/(Ы§-0)2).

Из приведенных примеров видно, что к спектральной плотности, получаемой подстановкой р = ш в изображение по Лапласу, нужно добавить дельта-функции, обусловленные полюсами функции Lg (р) на оси ш.

Приложение 2

ПРАВИЛО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ СИГНАЛА

Пусть исходному сигналу s (i) соответствует изображение по Лапласу Lg (р), не имеющее полюсов в правой р-полуплоскости и на оси г"(0. В результате интегрирования получится сигнал s„ht (О с изображением Lg {р)/р, так что

С+ too

s„ht(0=-; f -ePdp, />0. (П2.1)

2m J p

c- ioo

По аналогии с (П1.1) перейдем к выражению

- гоо

2 ""=0" 2я J

--dco. (П2.2)

Вычет функции Lg (р) с"*!р в полюсе р=0

reSpo=e(0)=S(0), (П2.3)

где S (0) - спектральная плотность исходного сигнала s (t) на частоте со = 0.

Напомним, что S (0) равно площади сигнала, так что, если выполняется условие

J (s (/) d/-* = О, то reSp=o обращается в нуль и подынтегральная функция

Lg = S ((o)/i(o полностью определяет спектральную плотность функции 5инт(0-

Если же условие S (0) = 0 не выполняется, то S (т)Цы определяет только сплошную

часть спектра функции s„ht (О- Слагаемому же g reSp=o соответствует спектральная плотность

Итак, в общем случае

S„ht (ы) =я5 (0) б (СО) +S (ы)!т. (П2.4)

Проиллюстрируем это выражение примерами. 1. s(t) = b(t)- S((o)=S (0) = 1;

s„ht(0=1. t> 1 - единичный скачок.

По - формуле (П2.4)

5ипт(а) = яб (ы)-\-\Цы.

1 См.: Тронин Ю. В. Утеряна дельта-функция!-Радиотехника и электроника, 1986, № 2.