причем случайная величина Хт (л) ежп - спектральный коэффициент (комплексный) реализации х (t) на дискретной частоте со = пщ. Определим квадрат модуля

I Ут (п) Y = [Sr (п) 4- \т (п)] [S; (п) + \т (п)] =

St (п) + Кт in) + St (п) Хт (п) cos (е,„- 6..,„) =5? (п) 5 (п)Х(п)

Sf («)

5f (п)+Х(п)

со5(е„-е„)

а после логарифмирования получим

1п Yr(rt) = ln5f(") + ln 5 (n) Xj. (n)

+ [n

5f {n)+X {n)

5f («)

COS (e,n-9.™)

Применение к совокупности {In Sj- (n)}, n=0,\,..., N -I, ОБПФ дает в соответствии с (16.22) истинный кепстр сигнала s (t), остальные же два слагаемых приводят к ложным отсчетам.

В реальных условиях кепстральная обработка имеет смысл при значительном превышении сигнала над помехой. Это позволяет упростить оценку влияния помехи.

Во-первых, при статистическом усреднении по множеству реализаций слагаемое, содержащее множитель cos (0sn - G„), обращается в нуль, поскольку начальная фаза помехи Qxn случайна и равновероятна в интервале - л < Qxn < Л-

Во-вторых, при вьтолнении условия Sf > NWx (со)/Т с вероятностью, близкой к единице, справедливо неравенство Xf (n)/5r (п) < 1. Поэтому можно исходить из приближенного равенства

In [ 1 + XI (n)/ST (n)] Xf {n)/Sf (n) С 1.

Если указанное неравенство выполняется для всех значений п или, что то же, для всех частот спектра в диапазоне от со = О до со == л/Т, то ошибка при определении кепстра незначительна. Степень сложности выполнения этого требования при заданном сигнале s (t) зависит от формы энергетического спектра помехи.

Наиболее сложная ситуация возникает при помехе в виде белого шума. В этом случае величина

Wx (со)/Г= Wxo/T = al

есть не что иное, как средняя мощность белого шума в полосе частот так что отношение (16.37) принимает вид

т](со) = 5Исо)/Л/а. (16.38)

С повышением со функция Sf (со), а следовательно, и у] (со) быстро убывают.

Проиллюстрируем это на примере сигналах! (t) из предыдущего параграфа, когда под помехой подразумевается шум квантования в АЦП.

Составим отношение, аналогичное (16.38), при замене Sf (со) на

jSj (е)!. Основываясь на (16.31), получаем

Tl(CO)= ---- .

Целесообразно выразить г (со) через отношение полных энергий сигнала и помехи на входе логарифмической нелинейности:

оо оо

sUt)dt = A Г tt-btdt - , Эха1х = о1МТ,

J J 4Ь8

5 4Ь аЛТ- 4(ЙГ)зЛ(т (l-26-* cos шГ + е-О

Потребуем, чтобы в точке шТ = л, в которой спектральная плотность минимальна, выполнялось условие т) (со) = 10. При ЬТ = 0,05 это условие приводит к равенству

4-(0,05)зо,9 (1 + 0,95)* Э,-

3,1 •10-55 дБ.

Реализация устройства кепстральной обработки при столь жестком требовании к ЭЭх является сложной проблемой. Для ее упрощения целесообразно, как ранее уже отмечалось, применять сигналы со спектром, убывающим медленнее, чем в рассмотренном примере. Но при этом следует помнить, что при неизменном шаге дискретизации Т снижение скорости убывания спектра приводит к ошибкам измерения из-за перекрытия спектров на участке вблизи точки 0)Г = л.

Для ослабления влияния шумов на результат обработки функцию In S (rt)= перед ОБПФ (см. рис. 16.11) обрабатывают спектральным «окном», выделяя те составляющие, где г\ (со) > 1. При этом разрешающая способность в кепстральной области определяется функцией «окна».

Известны и иные способы повышения разрешающей способности, при которых вместо ОБПФ используются современные методы спектрального анализа (спектрального оценивания), такие как авторегрессионные методы, метод максимальной энтропии и др.

Сущность этих методов заключается в определенной экстраполяции измеренного процесса вместо того, чтобы полагать процесс равным нулю за пределами спектрального окна.

На основе исходного дискретного сигнала (в рассматриваемом случае lnS (rt)=) строится адаптивный фильтр, согласованный с сигналом, причем степень согласования зависит от априорной информации о сигнале.

16.9. КОМПЛЕКСНЫЙ КЕПСТР

В задачах, требующих не только определения задержки и относительного уровня отраженного сигнала, но и выявления формы сигналов, необходимо учитывать их фазовые характеристики. Поэтому при определении кепстра следует исходить из комплексной спектральной плотности сигнала, а не только из ее модуля [как в выражениях (16.20)-(16.28)].

См.: 1) Аввакумов С. Ю., Александров А. И., Метелкин В. Н., Финкельштейн \. И. Кепстральная обработка сигналов в задачах подповерхностной радиолбкации. - Радиотехника и электроника, 1984, т. 24, № 11,; 2) ТИИЭР. Тематический выпуск «Спектральное оценивание», 1982, т. 70, № 9.

Комплексный кепстр континуального сигнала s (t) определяется выраже-

нием

СЛ7)=- Г lnS(o))e"d©, (16.39)

2я J

- оо

а дискретного сигнала 5 (т) - выражением

СЛт) = -!- (6 1п8(г)г"-Ыг (16.40)

2Я1 J 2 = 1

или эквивалентным ему выражением я

C,(/n) = - f 1п5(е"0е""(ыГ). (16.41)

Преобразования сигнала s (t), приводящие к Cs (<?), представлены на рис. 16.7, а; аналогичные преобразования дискретного сигнала s (т) представлены на рис. 16.7, б.

Отмеченное в § 16.5 требование сходимости интеграла в выражении (16.9) относится также и к определению комплексного кепстра. Главной же особенностью комплексного кепстра является его зависимость от неоднозначного аргумента комплексного логарифма, так каке®«"* <в, (m)-flA2я k - любое целое число.

Этот вопрос рассматривается в § 16.10. Можно, однако, привести большое число сигналов, для которых указанные затруднения не существуют. Это особенно относится к дискретным последовательностям, а также к сигналам, выраженным через дельта-функцию.

Например, для основного испытательного сигнала s (О = б (t) очевидны следующие равенства:

S (со) = 1, 1п S (й))=0, Cs (д)=0. (16.42)

Таким образом, кепстр Cs (?) дельта-функции S (t) равен нулю. В данном случае кепстральное преобразование полностью подавляет дельта-функцию.

Кепстр той же функции, взятой с весом а, т. е. при s (t) - аб (t). о > О,

S (со) = а, In S (со) = In а

Cs (9) =- г In а е" Ао=1паб((?). (16.43)

2п J

- оо

При а < 1 весовой коэффициент 1п а отрицателен, при о > 1 - положителен. Пусть сигнал s (/) задан в виде последовательности

Тогда

-inait,

nl

а с учетом соотношения 2 =

S (со) = ехр (е-"»), In S (ш)= e""",