Рис. 16.3. К гомоморфной обработке мультипликативного сигнала;

а) исходные сигналы «,(0, «2(0 и их произведение; б) спектр медленно изменяющегося сигнала S\(i); в) спектр быстро изменяющегося сигнала Siit)

о ft

Рис. 16.4. Спектр мультипликативного сигнала (а) и спектр того же сигнала после логарифмического преобразования (б)

Рис. 16.5. Амплитудно-частотная характеристика АЧХ линейной цепи в системе на рис. 16.1, обеспечивающая сжатие динамического диапазона и по-выщенне контрастности изображения

Область *"" Область частот, частот, i опревеляющая определяющая контрастность яркость I изображения

личается от исходных сигналов (t) и {t), соответствующие им спектральные полосы разнесены на оси частот в такой же степени, что и спектры Sai(co) и 5д2 (со) (рис. 16.4, 6). В спектре Лi (со) преобладают низкие частоты, близкие к Q, а в спектре (со) - частоты, нижняя граница которых близка к сощ.

Применение линейной цепи L с АЧХ, показанной на рис. 16.5, позволяет существенно снизить относительный уровень сигнала ух (t).

После обратного нелинейного преобразования D- получается новый мультипликативный сигнал Sgx (О "= Siux (OSBbix (О с требуемым соотношением уровней SiBux (О и Saax (О-

Таким образом можно осуществить одновременно сжатие динамического диапазона и повышение контрастности изображения.

16.4. ГОМОМОРФНАЯ ОБРАБОТКА СВЕРНУТОГО СИГНАЛА

Пусть задан континуальный сигнал s (t) = (t) * (t) и требуется осуществить обработку, в результате которой выходной сигнал получится также в виде свертки Sgx (О - хых (0*52бых (О, но с измененным соотношением между составными сигналами.

В данном случае операции □ и о совпадают с * и каноническая (}юрма системы обработки принимает вид, показанный на рис. 16.6, а.

В соответствии с (16.11) характеристическая система должна отвечать условию

D„ [S, (0*S2 (01 - D* [Si (01 + ls.2 {t)\. (16.13)

В отличие от мультипликативного сигнала (см. § 16.3) не существует подходящей функции для прямой реализации условия (16.13). Можно, однако, сначала перевести операцию свертки в операцию умножения, а затем произведение преобразовать в сумму.

Подвергнув входной сигнал преобразованию Фурье, получим [см. (16.9)1

f [.s(01 = S(co) = Si(co)S2(co). (16.14)

Следующий шаг - преобразование произведения в сумму с помощью выражения

log S (со) = log Si (со) + log S2 (со).

Применив, наконец, к log S (со) обратное преобразование Фурье, придем к характеристической системе D,.

Структурная схема D, представлена на рис. 16.7, а. На выходе этой системы сигнал

X (О -=.f-1 [log S (со)] = .f-1 [log S, (CO)] + .f-1 [log Ss (o))j = Xl (t) + X2 (t).

(16.15)

Рис. 16.6. Гомоморфная обработка свернутого аналогового (а) и цифрового (б) сигналов

Функции (/) и 2 (О по своей форме, естественно, существенно отличаются от исходных сигналов Sj (t) и (t).

На рис. 16.8, а представлена обратная характеристическая система Эта система получается из D, заменой преобразования log [ ] на преобразование ехр [ ].

На вход системы подается сигнал у (t) = yi (t) + у2 (t) с выхода линейной системы L.

После преобразования f [у (t)] получаются спектральные функции Yl (m) и Yj (ш). Дальнейшее преобразование вида ехр [ ] приводит к произведению вида е"(<)-е"И(о), каждый из сомножителей которого также является спектральной функцией.

Наконец, обратное преобразование Фурье

SbhxW= j eV.(-)eH<o)e-d«=Si3Hx(0*W(0 (16.16)

определяет выходной сигнал в виде свертки, в которой сигналы Siax (О и гвых (О изменены по сравнению с Sj (t) и S2 (/) в требуемом соотношении.

Цифровой вариант характеристической системы D, представлен на рис. 16.7, б.

Сигнал (дискретный) на выходе зтой системы определяется выражением, аналогичным (16.15):

х{т) = - l (f)ln S(z)z«dz =-А\п%{г)г"-Ыг + + -()1п 82(2)2"- dz = Xi(m)-\-X2m.

(16.17)

=S/wj-S2fcj; logS;((i»)-t- =a;,(*)+X2,(t) + logS2fe>)

f[ ]

sfe;=

i.og[ ]

-s,(m)®S2 (m) =5 (z).S2fe) log Sfz;= =х(т)+Х2,т

=logSrz)+logS2Cz;

Рис. 16.7. Характеристическая система D. для континуального сигнала [а) и D для цифрового сигнала (б)