Полюсы функции к (г) на z-нлоскости связаны с полюсами рщ, 2 соотношениями

г„, = (1 +0,3249p,„i)/(l -0,3249p„i) = 0.72 + 10,393, =4.-0,72-/0,393.

Итак, применение билинейного г-преобразования привело к появлению в передаточной функции двухкратного нуля (в точке г = - 1).

Схема фильтра совпадает со схемой, представленной на рис. 12.21. В данном случае весовые коэффициенты в обратных связях (см. § 12.8, п.4) = = 2Re (г„1) = 2 • 0,72 = 1,44, = - = - (0,821) = - 0,674,

а в прямых связях = 1, = 2 и а2 == 1.

При (Оц = 0 2 = 1 и функция К (г) по условию должна равняться единице, как и функция К (р) при со =0. При указанных выше коэффициентах щ и bi Ло = 0,0585.

При синтезе цифрового фильтра существенное значение имеет выбор числа разрядов в преобразователе А-Ц, а также в арифметическом устройстве исходя из допустимого уровня шумов квантования и округления (см. § 12.10 и 12.11).

Иначе обстоит дело с весовыми коэффициентами и Ь. Для точного представления этих коэффициентов в двоичной системе счисления может потребоваться значительное число разрядов (1,011101 для и 0,10101101 для Ь). Однако ценой несущественного отклонения АЧХ от заданной обычно можно значительно уменьшить число разрядов. Например, при загрублении весовых коэффициентов до Ь, = 1,0111 (1,4375) и 62 = 0,1011 (0,687) получается АЧХ, практически совпадающая с заданной.

При этом необходимо, однако, учитывать, что погрешность квантования в цепях обратной связи накапливается и при значениях 2п, близких к единице, полюсы могут оказаться вне единичного круга, что означает неустойчивость фильтра.

Правильный выбор длины кодового слова (т. е. разрядности арифметического устройства фильтра), являющийся одним из важнейших вопросов синтеза цифровых цепей, изучается в специальных дисциплинах.

Глава 16. ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ. КЕПСТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

16.1. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

В предыдущих главах принцип суперпозиции рассматривался как основное свойство линейных систем. Математическая формулировка (1.1) принципа суперпозиции, предусматривающая только операцию сложения сигналов, является фундаментальной для обработки аддитивной смеси сигналов. Она также является основой для спектрального метода анализа воздействия сложных сигналов на линейные цепи, для метода интеграла Дюамеля и других методов, при которых входной сигнал представляется в виде суммы элементарных слагаемых.

Однако операция сложения, как указывалось в § 1.5, не исчерпывает проблемы обработки сложных сигналов. Важное значение для современной

теории и техники обработки сигналов имеют, в частности, операции умножения и свертки сигналов.

Линейные системы не позволяют осуществить раздельную обработку сигналов, входящих в произведение или образующих свертку. Иными словами, по отношению к сигналам s (t) = Sj (t) • (t) или s (t) = Sj (t) * sit) неприменим принцип суперпозиции, в том виде, в каком он сформулирован для линейных систем. Однако с помощью сочетания линейных и некоторых нелинейных элементов можно осуществить систему, подчиняющуюся обобщенному принципу суперпозиции по отношению к упомянутым выше (и некоторым другим) сигналам.

Отыскание классов подобных систем для различных комбинаций входных сигналов основывается на теории линейных векторных пространств и на общей теории преобразования этих пространств. Основные понятия пространства сигналов, трактуемого как векторное пространство, были изложены в § 4.8 и 4.9. Применение этих понятий к задаче синтеза цепей, подчиняющихся обобщенному принципу суперпозиции, рассматривается в следующем параграфе. Предварительно поясним принцип построения подобных цепей для одного частного случая, основываясь на физических представлениях.

Рассмотрим обработку мультипликативного сигнала s (t) = (t) (t) и поставим перед собой задачу преобразования его к виду суммы х (t) = = Xl {t) + Х2 (t)- Искомый оператор преобразования обозначим символом 0. Математически поставленная выше задача сводится к требованию

D Is (t)] = D [si it)-s it)] = D [si it)] + D it)]. (16.1)

Известно, что единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей функциональному уравнению (16.1), является логарифмическая функция. Следовательно, оператор D соответствует логарифму и нелинейное устройство, осуществляющее требуемое преобразование, должно иметь характеристику вида X = D (s) = log S. Сигнал на выходе этого устройства

X (t) = log [s{t)V = log [s,{t)-s., (t)] = log [si (01 + log [S3 (01 = Xl (0-1-+X2 (t). (16.2)

В данном случае для упрощения мы ограничились рассмотрением действительных и ненулевых функций Sj (О > О и (О > 0.

По своему частотному спектру, а следовательно и по форме сигналы Xj (О и Хг (О отличаются от Si (О и (О- Существенно, однако, что сумму х (0= = Xl (О Хз (О можно обрабатывать (фильтровать) с помощью обычной линейной цепи.

Обозначим через i/i (О и t/j (О сигналы на выходе линейного фильтра L, осуществляющего фильтрацию сигналов Xi (t) и х (t). Поскольку последние имеют смысл логарифмов Si (О и s (О, то t/i (t) и г/з (О можно рассматривать как логарифмы выходных сигналов Sigx (О и гвых (О- Тогда возникает задача, обратная по отношению к (16.2): как перейти от суммы t/i (t) + (t) к произведению sy, (t) = Si,, (О- s (t).

Преобразованием, обратным логарифмированию, является потенцирование. Оператор такого преобразования обозначим Тогда характеристика нелинейного элемента, осуществляющего обратное преобразование, должна иметь вид Sgbix (О = (у), так что

SBbix(0-)-Mi/(01 = expli/i(0+№(01 =е«. С) е« = е"()Х X е" W <0 =Si3„(0-S3B„,(0. (16.3)

* Здесь и в дальнейшем log обозначает операцию логарифмирования. При выкладках и вычислениях используются натуральные логарифмы.

Рис. 16.1. Пример нелинейной системы, подчиняющейся принципу суперпозиции

Между двумя нелинейными элементами, осуществляющими преобразования D и должно быть включено линейное устройство L для фильтрации сигналов Xj {t) и Xi (t), т. е. для осуществления основной линейной обработки .

В результате приходим к схеме обработки, представленной на рис. 16.1. Как обозначено на этом рисунке, нелинейный элемент D преобразует произведение (•) в сумму (+) , линейный элемент L сохраняет операции суммирования (+) и (-J-), а нелинейный элемент преобразует сумму в произведение.

Применение подобной обработки целесообразно в тех случаях, когда с помощью линейного устройства L возможно разделять по частотному признаку сигналы х, (t) и Xi (V) и изменять в желательном направлении соотношение между уровнями сигналов у, (t) и г/а (t).

Пусть, например, спектры функций у, (t) и г/а (t) не перекрываются, а линейный фильтр L пропускает только сигнал у, (t). Тогда выражение (16.3) принимает следующий вид:

«вых {i)D- ly (0]=ехр [уг (0+0]=е W = е" хвых <"=Si,„ (t). (16.3)

Аналогично при режекции сигнала г/i (t) получим Sibix (О- Таким образом можно осуществить разделение сигналов.

Система, представленная на рис. 16.1, в целом подчиняется обобщенному принципу суперпозиции, в данном случае по отношению к сигналу s {t)= = Si (t)-S2 (t), так как В этой системе между сигналами Si (t) hSj (/) отсутствует взаимодействие и соотношение между Sigx (О и (4 а также между гвых и Si (t) определяется только линейным устройством L.

Именно вэтом смысле в дальнейшем будет трактоваться термин «обобщенный принцип суперпозиции».

16.2. ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА ГО.МОМОРФНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Если сигналы на входе и выходе рассматриваемой системы трактовать как элементы векторного пространства, то любое преобразование Я \s (t)], осуществляемое системой над сигналом s (/), является преобразованием пространства сигналов. Такое преобразование переводит элементы Sj, Sj,... пространства входных сигналов в элементы Sibx (О, авых (0. ••• пространства выходных сигналов, причем SiBbix (О = [Sj (01, «гвых (О = iSi(t)].

Рассмотрим теперь преобразование входного сигнала, являющегося некоторой комбинацией двух сигналов Si (t) и (t). Как уже ранее отмечалось, для обработки сигналов в радиоэлектронике наибольший интерес представляют следующие три комбинации: сложение, умножение и свертка. Обобщим эти операции символом □, т. е. s (t) ~ Sj (t) □ s. (t). Каждому сигналу s (t) соответствует вполне определенный элемент Sgx (О - Я Is (t)] в пространстве выходных сигналов, однако различным операциям - су.мми-рованию, умножению или свертке соответствует определенный оператор; Ях, Яз или Яд.