получаем следующие соотношения для определения параметров активной RC-ixem:

wc Ri С,

0)2 R Ci Са

(f-b7 + l-o) = bi = 0,645, = 62 ==0,708.

Сохранив соотношения, принятые в § 15.6 для фильтра Баттерворта (aRiCi л; 1, С/С = 0,4), получим

--f =1/2, = +--0,645 «1,46.

Из сопоставления полученных результатов с результатами расчета фильтра Баттерворта видим, что, изменяя коэффициент усиления (операционного усилителя) и несущественно изменяя сопротивления резисторов Rl, /?2 (или емкости конденсаторов С, С), можно перейти от фильтра Баттерворта к фильтру Чебышева. Следует, однако, отметить, что при п = 2 фильтр Баттерворта обеспечивает ослабление АЧХ при х = ю/сос = 4 всего лишь на 24 дБ [см. (15.22) при /г = 2 и и г/ = 2]. Для получения ослабления на 30 дБ потребовалось бы л 3 (одно звено второго порядка и одно апериодическое звено). Это преимущество фильтра Чебышева в зоне задерживания (более быстрое убывание АЧХ) достигается ценой некоторого ухудшения равномерности в полосе прозрачности фильтра.

15.8. СИНТЕЗ РАЗЛИЧНЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ

Вернемся к функции (15.20), аппроксимирующей прямоугольную АЧХ идеального ФВЧ, и введем новую переменную

х~\/хшс/ш. (15.43)

Тогда

Кнч (;.)=l/[l + (l/v)2"[= "/[ 1 + v] = /(!,(V). (15.44)

Новая функция Кц (v), получаемая из АЧХ Кич i) фильтра нижних частот заменой аргумента на v = 1/х, показана на рис. 15.12 (для п - 2). Функцию Квч можно рассматривать как АЧХ фильтра Баттерворта верхних частот, обладающего в полосе частот 1 < V < оо такой же неравномерностью АЧХ, что и функция Кнч (х) в полосе О < л: < 1. Таким образом, при синтезе ФВЧ можно использовать аппроксимирующую функцию F (х) [см. (15.19)1, заменив в ней аргумент иа v = 1/х.

В соответствии с такой заменой частотную переменную р в (15.28) следует заменить переменной s = 1/р. Функция (15.28) при этом принимает вид <

Квч(«)=--=--. (15.45)

(l/s)2 +У2 (l/s)+l s2 + ")/2 s+l

Полюсы передаточной функции Квч (*), т. е. корни уравнения s-\-\/2s-\- 1 = О, остаются теми же, что и в (15.28).

°~0,5 1,5 1,5 v-i/x

Рис. 15.12. Фильтр верхних частот Баттерворта

/в-1/5;п-4 "ff 1,5 1,5 v-1/х

Рис. 15.13. Фильтр верхних частот Чебышева

Аналогичным образом можно получить передаточную функцию ФВЧ Чебышева.

Соотношение между АЧХ фильтров Чебышева верхних и нижних частот представлено на рис. 15.13 (для п - 4).

Соответствущим преобразованием переменной р можно синтезировать и иные фильтры, например полосовые, на основе исходного ФНЧ [27].

15.9. СВЯЗЬ МЕЖДУ АМПЛИТУДНО- И ФАЗО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ В ЦИФРОВЫХ ЦЕПЯХ

Линейные электрические цепи делятся на два класса: минимально-фазовые и неминимально-фазовые.

К первым относятся цепи, у которых между АЧХ и ФЧХ существует однозначное соответствие, так что задание одной из характеристик полностью определяет вторую. Ко второму классу относятся цепи, у которых между АЧХ и ФЧХ нет однозначного соответствия.

В теории аналоговых электрических цепей этот вопрос детально изучен. Установлено, что если передаточная функция четырехполюсника К (р) не имеет нулей в правой р-полуплоскости и, следовательно, постоянная передачи

в(р) = 1пК(р) (15.46)

не имеет полюсов в указанной полуплоскости, то четырехполюсник является минимально-фазовым.

На оси частот постоянную передачи 0 (р) можно представить в форме

в (ш) = 1п К (1(0) = In /С (со) + iff ((О) = Л (со) + /ф (со). (15.46.)

В этом выражении ф (со) - ФЧХ, а

Л (со) = In/С (со) (15.47)

- логарифмическое затухание четырехполюсника.

При условии отсутствия нулей функции в (р) в правой р-полуплоскости имеет место равенство

±в(гЧ)+-1- nJidaO, (15.48)

2 2т J w -Ml

--ОО

где coj - фиксированная частота :

Из (15.46) и (15.48) вытекают следующие соотношения:

Л(со1)=--L f lH.dco, (15.49)

Я J СО-0)1

- оо

ц>(щ)г± Г АИ-йо). (15.50)

я J М-Mj

- оо

Таким образом, при оговоренных выше условиях Л (со) и ф (со) связаны между собой однозначно преобразованием Гильберта [см. (3.62), (3.63)].

Следует иметь в виду, что при логарифмировании комплексной функции К(ш) =/((ш) е" возникает неоднозначность, так как добавление к ф (м) любого числа k2n, где k - целое число, не изменяет значения функции. В данной главе под Ф (м) подразумевается главное значение аргумента, ограниченное пределами -п < < ф (м) < я. Способы устранения неоднозначности рассматриваются в гл. 16.

См. предыдущее издание настоящей книги.

Переход от логарифмического затухания А (ш) к АЧХ совершается с помощью соотношения, обратного соотношению (15.47):

/С((о)=е4<"). (15.51)

Обратимся к установлению связи между АЧХ и ФЧХ в цифровых цепях. Основываясь на определении передаточной функции цифрового фильтра

(12.33), (12.34), переходим от К (г) к функции? (г) = In К (г) и по аналогии с выражением (15.46) к функции

?(2) = 1п К (е"0 = 1п Кг (ш) = Ат М + (а>), (15.52)

где Л7(сй)=1п1К(е-0-

Исходя из условия, что функция о (z) не имеет полюсов вне круга z = = 1 [что тождественно ранее принятому условию отсутствия полюсов функции в (р) в правой р-полуплоскости[, можно получить равенство, аналогичное (15.48):

я/т .j.

- е(е".)+- г ---d(e") = 0. П5.53)

-я/г

Подставив d (е") = i Те" da, приведем интеграл в (15.53) после перехода к переменной а к виду

2т J е"-е"* 2я J i -Ци>-ы,)Т

-я/г -я/Г

Подставим в (15.53) ?(е«>) и ?(е"Т) „о формуле (15.52):

4-[ЛтЫ+Щт{а1)]+

-я/г

(15.53)

X Г -dco=0.

J i e-<*>-"i)r -я/г

Воспользуемся равенством

1 е" cosA:/24-/sinA:/2 ±l c{ax/2)

1 е-" ixi2 -ixl2 2ismxl2 2

Тогда, выделив в (15.53) действительную и мнимую части, придем к следующим формулам:

я/г я/г

7-(&)i)=~- Г Л7-(а>)й(й-- г фг((о)с1д ("-") d(o, (15.54)

-я/г -я/Г

ф,((о,)=- г H»)ctg-i:da>. (15.55)

2зх л 2

-я/г

Первое слагаемое в правой части (15.54) имеет смысл среднего значения Ат (а) в полосе частот от аТ = О до аТ = 2я.

Соотношения (15.54), (15.55), как это вытекает из условия отсутствия

нулей функции К (г) вне круга единичного радиуса z = 1, справедливы для минимально-фазовых цифровых цепей.