15.5. СИНТЕЗ ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ. ФИЛЬТР БАТТЕРВОРТА

Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ представлена на рис. 15.7. При аппроксимации АЧХ на оси абсцисс обычно откладывается безразмерная (нормированная) частота х = со/сОс. где cOg - частота среза, а по оси ординат - нормированное значение К (ю/юс) = К (х).

Аппроксимирующую функцию для идеальной АЧХ фильтра, показанной на рис. 15.7, задают в виде

(15.19)

/С(х)- \lV\F\x),

причем накладывают условие, чтобы функция F {х) по модулю была минимальна в полосе О < д: < 1 и максимальна при а: > 1.

Простейшей функцией, отвечающей этому требованию, является функция F (х) = X" ~ (со/шс)". При этом

(х) = IК {ix) = 1 /[ 1 + f 2 () = 1 /(, ;,2„). (15 20)

Графики функции (15.19) при нескольких значениях п показаны на рис. 15.8. Определяемая выражением (15.20) аппроксимирующая функция получила название функции Баттерворта, а фильтры, синтезированные на основе этой функции, называются фильтрами Баттерворта. При частоте среза х = 1 (со = ©с) функции Баттерворта любого порядка п равны 1/2, что соответствует ослаблению АЧХ 1/V2 (на 3 дБ). Аппроксимацию по Баттерворту часто называют максимально плоской.

При исчислении К (х) в децибелах (15.19) приводится к виду

К (х)дБ = 20 Ig /( (X) - - 1 о Ig [ 1 Ч- f М;) j = 10 Ig (1 + х2п).

Если безразмерную частоту х представить в виде степени числа 2, т. е. X = 2*, где у - число октав, то

/С(х)дБ= -101g(l +х2") = -101g(l -f-22«). (15.21)

График зависимости К в децибелах от у показан на рис. 15.9. На частоте среза (х = 1, г/ = 0) затухание равно 3 дБ независимо от порядка п.

Вне полосы прозрачности фильтра, при х" > 1 (г/> 1), выражение (15.21) определяет прямую линию

1 СдБ« 101g22"i = 20rti/lg2 = 6ni/. (15.22)

Таким образом, ослабление АЧХ равно 6пдб на одну октаву (т. е. при изменении частоты х вдвое, а г/ на одну единицу).

Для удовлетворительной аппроксимации прямоугольной характеристики (см. рис. 15.7) с помощью функции Баттерворта требуются относительно

1,0 х-ы/ы

2,5 а/Ый

Рис. 15.7. Амплитудно-частотная характеристика идеального фильтра нижних частот

Рис. 15.8. Аппроксимирующие функции Баттерворта

О/ \ / \ /

2i I

1у

I ®

/7 = 4

Рис. 15.9. Затухание в фильтре Баг-терворта в зависимости от числа октав

Рис. 15.10. Расположение полюсов передаточной функции фильтра Баттерворта третьего и четвертого порядков

высокие значения п. Так, если необходимо, чтобы при ш = Зюд (х = 3) ослабление (затухание) АЧХ было не менее 40 дБ, то п > 40/бг/. В данном случае у = lg2X= lg23 = 1,58 и, следовательно, п > 4,25, т. е. требуется п = 5.

Следующим шагом после определения п является нахождение полюсов передаточной функции. Для этого выразим (15.20) в форме (15.17), для чего в (15.20) приравниваем ix р, х == - и х" == (-1)"р2«:

K(tx) = K(p)K(-p)Ip=i. = -

Рассматривая теперь поведение функции находим полюсы как корни уравнения

.р=1Х

5( р2)=.. 1 ( 1)пр2« 0

р2п 1/( 1)П = („1)-(п-1).

MB (-р) на р-плоскости.

(15.23)

С помощью соотношений

/я 1)" - =е~"<""~> е~2*",

где k - любое целое число, получаем для -го корня уравнения (15.23) следующее выражение:

р = е"П-)+2*1/2", (15.24)

причем число корней равно степени уравнения (15.23). Модули всех полюсов ри равны единице, а аргументы

= я [«-f (2/fe-1)1/2/г, (15.25)

причем разность аргументов любых двух соседних корней равна я/п. Следовательно, все полюсы функции 1/5 (- р) лежат на окружности единичного радиуса и делят эту окружность на равные дуги я/п. Аргумент первого полюса ф1 = я (п + 1)/2п, а последнего ф2„ = я (5 п - 1)/2п.

Расположение полюсов на окружности единичного радиуса для фильтра Баттерворта третьего и четвертого порядков показано на рис. 15.10.

В соответствии с § 15.4 к передаточной функции синтезируемого фильтра относятся только полюсы, расположенные в левой полуплоскости.

Эти полюсы

Pft= -8т-?я + 1с05-?-i-jn, k = \,2,...,n.

(15.26)

Следует помнить, что формулы (15.23), (15.24) определяют значения нормированных переменных р, т. е.

р = (а + ш)/сое. (15.27)

Все полюсы образуют комплексно-сопряженные пары, кроме одного полюса на вещественной оси при нечетном п. Этому единственному полюсу соответствует k= {п-{ 1)/2. Подставив ри по формуле (15.24) в общее выражение для передаточной функции

/( (р) = tio(p -Poi) (р-Рог)... (р-Роп) о (Р -Рш) (Р -Рш) • • • (Р -Рпт)

где poh - нули; р„и - полюсы, получим передаточную функцию фильтра Баттерворта. Приведем эти выражения для л == 2, 3, 4.

При л = 2 полюсы /71.2 = - 1/V2 ± У2 и по формулам (15.2) и (15.6) находим

К.(р) =-!-=-L-=-!-. (15.28)

(Р-Pi) (Р-Ра) p2 f.-j/2p+l P + hp + bi

При л=3 полюсы pi=~0,5 + tУз/2,/j2=-I, рз=-0.5-iV3/2 =

Передаточная функция

1 1 I

(Р-Pi) (Р-Рг) (Р-Рз) (Р-Рг) (Р -Pi) (Р -Pi)

! .

(р+1) (р + Р+1) Р + ЬхР + йгР + з

При n = 4 передаточная функция приводится к виду 1 1

П5.29)

К(р) =

(р + 0,765р+1) ;р2+1,848р+1)

Р* + б1Р + 6гР + &зР+

(15.30)

Коэффициенты полиномов в знаменателе передаточной функции Баттерворта приводится во многих пособиях по расчету фильтров.

Последним этапом синтеза ФНЧ является подбор элементов для типовых звеньев второго порядка, а при нечетных п - дополнительно для одного звена первого порядка.

\ 15.6. ПРИМЕР СИНТЕЗА ФИЛЬТРА БАТТЕРВОРТА ВТОРОГО ПОРЯДКА

В основу расчета положим выражение (15.28) К(/)= -L--b,=V2, 62-1.

p2 + V2p+l

Переходя в выражении (15.12) к нормированной частотной переменной р - {а -\- гй)/й)с [как и в (15.28)], приводим его к виду