где Xfe=0 или 1 есть-й разряд в представлении номера отсчета х в двоичной системе счисления:

х= = •п)2. (14.32)

Пусть, например, рассматривается система функций Уолша размером yV == 16, п = logj N = 4. Тогда

х= 2 л:2*-*=хг2» + Х2-22 + Хз-214-Х4-2о. (14.33)

Определим одну из функций системы, например шестую (пу = 6). По модулю все отсчеты функции Уолша равны единице и требуется определить лишь знак. Обратимся для этого к формуле (14.31), в которую подставим пу = 6 и n - 4:

S ("4-h-H®°"4-h)*ft

wal(6,x) = (-l)=

Напомним, что в соответствии с (14.21) при п - 4 йу = 6 = tiyi • 2»-f • 22 + . 21-f • 20,

откуда следуют равенства пу = О, = 1, =1 и йУ4 =0. Далее находим значения 0)4-+1, w- и сумму

yi}i-h+i®i-k при fe=1...4:

fe = l: 4-fe+x = a)4 = 0, ш4-й = Шз=1, ffi-i-h+ieffi-i-hOei = 1; fe = 2: ш4 +1 = Г1Уз= 1, Ш4 = Ш2=1, Г1У4 л+1фг1У4-й = 1ф1 = 0; fe = 3: йУ4-й+1 = Ш2= 1, Ш4-й tiyi = О, 1фО = 1; А; = 4: a)4-ft+i = a)i=--0, 0)4- = 0=0, 000 = 0.

Значения (нуль или единица) находим из выражения (14.32), приравг нивая номер отсчета х последовательно значениям О, 1,2, 15.

При X = О все разряды х, х, Xg, Х4 равны нулю и, следовательно, по формуле (14.31) wal (6, 0) = -f 1.

При X = 1 соответственно х = О, Xg = О, Х3 = О и Х4 = 1; при этом показатель степени в (14.31) при ft = 4 равен 0-Х4 = О и wal (6, 1) -f 1.

При X = 2 Хх = О, Xg = О, Х3 = 1, Х4 = О показатель степени в (14.31) при fe = 3 равен l-Xg = 1, откуда получаем wal (6,2) = - 1.

Вычисленные три отсчета в точках х - 0,1 и 2 согласуются с ходом непрерывной функции wal (6,6) на pnq. 14.13. Продолжая расчет для х = 3,4,

15, находим все отсчеты функции wal (6, х).

Другой формой представления дискретных функций Уолша являются матрицы Адамара, приведенные в § 14.4. Номера столбцов матрицы Адамара соответствуют номерам дискретных значений функций Уолша, а номера строк - номерам функций Уолша. Строки матрицы Адамара могут быть упорядочены по Пэли, по Уолшу и собственно по Адамару.

Перечисленные в § 14.3 свойства непрерывных функций Уолша записываются для дискретных функций следующим образом.

Ортогональность

V wal а, X) wal (/, X) I ] (14.34)

\ О при 1ф I.

Дискретные функции Уолша не нормиров аны; норма равна независимо от номера функции.

М ультипликатшность

wal (t, х) wal (/, х) = wal (i ф I, х). (14.35)

Пусть сигнал s (t) (вещественная функция) представлен совокупностью своих эквидистантных отсчетов s (k), k = 0,1, 2, N - \ . Тогда преобразования

5(п)= 2 s(fe)wal(n, fe), (14.36)

S (k) - S (n) wal (n, fe) (14.37)

образуют пару дискретных преобразований Уолша (ДПУ). Выражения (14.36), (14.37) аналогичны паре ДПФ в базисе гармонических функций [см. (12.14), (12.15)].

Как и ДПФ (см. § 2.17), ДПУ обладают свойством периодичности

S (п) S {п + mN), s{k) = s (fe + mN), (14.38),

где m - целое число.

Имеются, однако, и существенные особенности ДПУ. Это относится к теореме запаздывания. Напомним, что в случае спектрального анализа в базисе гармонических функций умножение ДПФ S (п) на базисную функцию

i - пт

е м эквивалентно сдвигу во времени последовательности s (fe), fe = 0,1, 2, N - 1, на m интервалов.

Действительно, вводя под знак суммы в правой части (2.127) множитель е " , получаем

jj-JSin)e e =2S(«)e =5(fe-fm),

n=0 n=0

ЧТО эквивалентно сдвигу каждого из отсчетов s (fe) на (fe -- т) - fe = m интервалов.

Проведем аналогичное рассуждение для ДПУ. Обращаясь к выражению (14.37) для S (fe), вводим под знак суммы множитель wal (п, т), т. е. базисную

( - пт

функцию, имеющую тот же смысл, что и е для анализа в базисе гармонических функций;тогда получим

2 S (п) wal (л, fe) • wal (п, т) =

= - У 8{п)гА{п, km)=s{km). (14.39)

rt=0

Здесь использовано свойство мультипликативности функций Уолша.

Как видим, при заданном значении т сдвиг fe-ro отсчета s (я) будет равен (fe ф т) - fe интервалов (а не просто т интервалов).

Переход от s (fe) и s (fe ф т) означает диадный сдвиг на т интервалов последовательности отсчетов s (fe), fe = 0, 1, 2, N - 1.

Поясним смысл термина «диадный сдвиг». С понятием «сдвиг функции» приходится иметь дело, например, при определении корреляционной функции, при рассмотрении теоремы запаздывания, при определении свертки двух функций. В обычном смысле сдвиг рассматривается как параллельный перенос сдвигаемых значений колебания вдоль оси времени. Такой сдвиг можно назвать арифметическим, так как он выражается обычным арифметическим сложением или вычитанием. При арифметическом сдвиге, например, на m = 3 интервала k-й отсчет х (5) переместится и станет х (5--3) = = X (8). При достаточно большом т отсчет х (k) выйдем за пределы исходной совокупности отсчетов. При диадном сдвиге тот же отсчет х (5), сдвинутый на m == 3, займет положение х (5фЗ) = х (6), так как

5 = (101),

3 = (011)з

(110)2=6.

Диадный сдвиг обладает так называемым групповым свойст-в о м: сдвиг отсчетов х (к) (где k = 0,1,2, iV - 1) на m < - 1 соответствует лишь перестановке этих отсчетов внутри их исходной совокупности. Эта перестановка определяется операцией сложения по модулю 2, т. е. k @ т, для которой результат сложения всегда не превышает число N-1 при любом т = 0,1, 2, N - 1. При этом имеется в виду, что N ~2, где п - целое положительное число.

Сделанное утверждение легко проверить перебором всевозможных диад-ных сдвигов всех отсчетов х (k) при заданном N. Например, при N = 8 получается следующая квадратная матрица значений q = k@m

Из этой матрицы видно, что диадный сдвиг не выводит сдвинутые отсчеты за пределы исходной совокупности Л отсчетов, а лишь производит их перестановку внутри этой совокупности.

Например, при исходной последовательности s (0) s (1)... s (7) получим следующие последовательности:

при m = 1

S (1) S (0) S (3) S (2) S (5) S (4) s (7) s (6); при т - 2

S (2) S (3) S (0) S (1) S (6) S (7) S (4) s (5); при т = 3

S (3) S (2) S (1) S (0) S (7) S (6) S (5) s (4) и т. д.

Диадный сдвиг придает существенное своеобразие как спектральному анализу в базе функций Уолша, так и представлению сигналов во временной"