для аппроксимации АЧХ различных фильтров. Этот вопрос рассматривается в гл. 15.

3. Полиномы Лагерра определяются формулой

(14.12)

Первые четыре полинома:

Lo {х) = 1, Li (х) = -X + 1, La {х)=хУ2-2х + 1,1з (х>= -х/6 + + /iX-3x+l.

Полиномы Лагерра ортогональны на полуоси О < л: < оо с весом р{х)= =. е-*.

Так как полиномы Лагерра образуют систему расходящихся при х -ьоо функций, удобнее пользоваться функциями Лагерра

(14.13)

;„=Кр(х)1Л)=е--/2 К{х).

При этом функции Лагерра /„(х) ортогональны с единичным весом. На рис. 14.4 приведены функции Лагерра при п = 1,2,..., 5. Норма функции In (х)

/п1 = /[/

{x)dx =1,

поэтому при разложении функции / (х) по функциям Лагерра коэффициенты ряда

/ (X) = 2 " {X) должны определяться по формуле

с„ - I / {X) и (х) dx.

(14.14) (14.15)

Рис. 14.4. Функции Лагерра

(at)

ус, с, Х7

Рис. 14.5. Генератор функции Лагерра

Функции Лагерра получили широкое распространение в измерительной технике и в многоканальных системах связи, что в значительной степени объясняется простотой их генерирования. Дело в том, что функция /„ (О по форме совпадает с импульсной характеристикой физической цепи, составленной из каскадного соединения простых звеньев (рис. 14.5). Для определения передаточной функции требуемой цепи применим преобразование Лапласа к функции Лагерра (14.13), предварительно заменив в (14.12), (14.13) переменную х новой переменной х = at:

at/2 т

In (at) =±-ЦП e-<t).

Функции времени &-<H соответствует изображение л!/(р + а)"+1, а /г-кратному дифференцированию - умножение изображения на p. Учитывая также, что умножение на е«/2 дает сдвиг на р-плоскости на -а/2, приходим к следующему изображению для функции Лагерра:

(Р-а/2)"

р-а/2 \п

(р + а/2)"+ (Р+а/2) I р--а/2

Передаточная функция первого звена \1(р + а/2) реализуется интегрирующей RC-тпъю, отвечающей условию RC = 2/а. Передаточная функция {р - а/2)/{р -Ь а/2) соответствует мостовой схеме при RC = 2/а.

Действительно, непосредственно для мостовой схемы одного звена (см. рис. 14.5)

, U2 2/Ui i =(Ur-~Uc)/Ui. i=(/? -l/ia)C)A/?-bl/i«C), откуда

Us - 2 (Р)/и, 1 (/?) = (я -1 /RC)/(p + 1 /RC).

При возбуждении цепи (см. рис. 14.5) дельта-функцией колебание на выходе первого звена будет е""°"/ = (а/), а на выходах последующих звеньев соответственно 1 (at), /а (at) и т. д.

Взвешенное суммирование всех этих колебаний дает на выходе сумматора колебание

/ (at) Jy с„ /„ (at), t > О, где коэффициенты с„ определяются выражением (14.15).

4. Полиномы Эрмита определяются формулой

(14.16)

Первые пять полиномов Эрмита:

Яо (jc) = 1, Я1 (х) = 2х, Hi ух) = 4x2-2, Яз (х) 8x - 12х, Я (х) = = 16х*-48x2+12.

Графики этих полиномов представлены на рис. 14.6. Полиномы Эрмита ортогональны с весом р (х)= е--" на всей оси-оо< < X < оо, так что

\ Я„(х)Я„(х)е--х-

О при т Ф п, 2" У я п\ при т = п.

Таким образом, норма функции Я„ (х) Yp {х) =Я„ (х) е- "1

Для перехода к ортонормированной системе полиномов Эрмита вводят функцию

Фп {X) =

Нп {x) Ур {x) Нп jx) е-/

\НпГр\\ У2"Уп

(14.17)

При этом разложение функции / (х) по нормированным функциям Эрмита записывается в форме

/(х)= 2 СпФп(л),

п = 0

Сп = j / (х) Ф„ (х) dx.

(14.18)

Графики нормированных функций ф„ (х) приведены на рис. 14.7. Из приведенного перечисления видно, что ортогональные системы функций можно разбить на два класса: I) системы, определенные на конечном интервале (полиномы Лежандра и Чебышева); 2) системы, определенные на

бесконечном интервале, представляющем собой полуось О < X < оо (полиномы Лагерра) или всю ось - оо < X < оо (полиномы Эрмита). Для аппроксимации процессов и характеристик, определенных на конечном интервале, естествейно применять ортогональные системы первого класса. Для функций / (х), заданных в бесконечном интервале, целесообразно применять системы второго класса.

При выборе полиномов важное значение - имеет вид весовой функции р (х), соответствую-- щей тому или иному виду полинома. Этот Рис. 14.6. Графики полино- ыбор должен быть тесно увязан с-харак-мов Эрмита тером аппроксимируемой функции f (х): ве-