то очевидно, что задержка tg, фигурирующая в выражении (13.8), не может быть меньше Т. Только при tg может быть использована вся энергия сигнала для создания наибольшего возможного пика в точке t == tg. Ясно, что увеличение сверх не влияет на пиковое значение выходного сигнала, а просто сдвигает его вправо (в сторону запаздывания).

Кроме того, условие to накладывает на сигнал s (t) требование, чтобы длительность его была конечна; только в этом случае при конечной задержке to можно реализовать пик сигнала. Иными словами, применение согласованной фильтрации для максимизации отношения сигнал-помеха в описанном выше смысле возможно при импульсном сигнале (а также ограниченной по продолжительности пачке импульсов).

Обратимся к вопросу о физической осуществимости согласованного фильтра. Пусть задан произвольный сигнал s (t), которому соответствуют импульсная характеристика согласованного фильтра g (t) и преобразование Фурье от этой функции К (ioi), определяемые соответственно выражениями (13.15) и (13.18). Возникает вопрос, при каких условиях К («>) может являться передаточной функцией физически осуществимого четырехполюсника.

Ответ на этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли - Винера, согласно которому неравенство

dco<oo (13.16)

является необходимым условием, чтобы положительная функция /С (ю) могла быть модулем передаточной функции электрической цепи.

Хотя критерий Пэли - Винера оставляет открытым вопрос о структуре цепи, из него вытекают некоторые полезные следствия о свойствах электрических цепей.

В частности, из него следует, что АЧХ К («) должна быть интегрируе-

мой в квадрате, т. е. J К. (со) dco < оо. Только при этом условии числитель

- 00

1п К (w) растет с увеличением со медленнее, чем знаменатель 1 + ю, и условие (13.16) выполняется. Например, передаточная функция /С (м) = = /Соб"" , (о> О, реализуема, так как \\пКо («>) = 1п/Со -««I растет медленнее, чем 1 +(о. Гауссовский фильтр с передаточной функцией /С(«)) = = /Соб""" не реализуется, так как 1п /С (ю)! = 1п/Со - ««1 растет с увеличением (О с такой же скоростью, что и знаменатель 1 + ю.

Далее, АЧХ К (ю) может быть равной нулю только на некоторых дискретных частотах, но не в конечной или бесконечно большой полосе частот. Действительно, если в полосе частот (Oi < ю < «а Функция К (ю) = О, то \\п К («) I обращается в бесконечность и интеграл в (13.15) расходится. Аналогично рассуждая, можно прийти к выводу, что фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы, хотя практически можно получить характеристики, близкие к идеальным.

Так как в рассматриваемой задаче синтеза согласованного фильтра задано равенство К (ю) = AS (со) [см. (13.11)], то условие (13.16) можно записать в виде

и все приведенные выше ограничения на К («) можно распространить на модуль спектральной плотности сигнала 5 (ю).

1 Здесь под 0) подразумевается безразмерная нормированная величина.

13.4. СИГНАЛ И ПОМЕХА НА ВЫХОДЕ СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА

Для определения формы сигнала на выходе используем общее выраже-

5вых(0=- J S((o)K(tco)e»d(o.

- оо

Подставив в него соотношение (13.8), получим

- оо

= Л- J 52(co)e»(<-.)dw. (13.17)

- оо

Сопоставим это выражение с (2.136). Нетрудно видеть, что интеграл в правой части выражения (13.17) есть не что иное, как корреляционная функция входного сигнала (т), в которой аргумент т заменен на t - о- Таким образом, приходим к важному выводу, что

suxit)=AB,{t-tg) (13.18)

и соответственно

5вых(4 + т)=ЛВЛт). (13.19)

Итак, сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента А совпадает с корреляционной функцией входного сигнала.

Для построения графика функции Sgx (О по заданной функции Bs (т) достаточно в последней т заменить на - (и учесть коэффициент А). При t = to, т. е. при т = О, величина (0) равна энергии сигнала. Следовательно, пиковое значение сигнала

5вых(о)=5ЛО) = Л5. (13.20)

Рассмотрим теперь параметры и статистические характеристики шума на выходе согласованного фильтра. При действии белого шума с нормальным законом распределения (именно такой шум и представляет основной интерес для практики) распределение шума на выходе линейного фильтра остается нормальным. Спектр шума на выходе, как это ясно из (7.2) и рис. 13.3, вых (®) = К ("•) 0- Следовательно, корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра

по оо

?b«xW= j зых(«)е--асо==- j (со) е--dco. (13.21)

- оо -оо

Подставляя К («) = AS (со) и учитывая выражение (2.136), получаем

/?вых(т)=Л1Го- J S4co)e»*dco = lFoB,(T). (13.22)

1 Обратим внимание на то, что символом Bg (т) обозначена корреляционная функция детерминированного сигнала s(t). Использованные в гл. 4, 5 и 11 обозначения Кх (т), Rx (t) и Гх регламентированы (по ГОСТ) для статистики.

2 Различие в знаках показателя степени е" не имеет значения ввиду четности функции 5 (0)).

Отсюда следует, что корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с корреляционной функцией входного сигнала (и, следовательно, с самим выходным сигналом).

Приравнивая т = О, находим дисперсию (среднюю мощность) шума на выходе

ав\>х =?вых(0) = r„B,(0) = (13.23)

Составим отношение пикового значения сигнала sx (О к среднеквадратическому значению шума Овых- В соответствии с формулами (13.19) и (13.23) приходим к результату (13.9): Sgx (о)/сГвых = (/IFo)/.

Итак, при белом шуме отношение сигнал-шум не выхода фильтра, согласованного с сигналом, зависит только от энергии сигнала и энергетического спектра шума Wg.

Из этого заключения следует, что при заданных энергии и ширине спектра сигналу можно придавать различную форму, выгодную для. решения конкретной задачи.

Так, для повышения скрытности передачи целесообразно удлинять сигнал при соответствующем уменьшении амплитуды {ait = const). Это приводит к уменьшению отношения сигнал-помеха на входах любых радиоприемных устройств, что затрудняет извлечение информации из смеси сигнал + + шум. Лишь в приемнике с фильтром, согласованным с данным сигналом, восстанавливается наибольшее возможное при заданной энергии отношение сигнал-помеха. Следует, конечно, обеспечить неизменную ширину спектра при удлинении сигнала. Это можно осуществить, введя внутриимпульсную модуляцию, например частотную. Пример подобного сигнала - импульса с линейной ЧМ (ЛЧМ импульс) был рассмотрен в § 3.7, п. 3.

Удлинение радиоимпульса, дополняемое внутриимпульсной модуляцией, позволяет также снизить пиковую мощность генератора в передатчике при заданной энергии сигнала и при сохранении разрешающей способности сигнала (после сжатия в согласованном фильтре). Это преимущество более подробно рассматривается в § 13.5, п. 2.

Уточним смысл коэффициента А, фигурирующего во многих предыдущих выражениях. При определении отношения сигнал-помеха [см. (13.9)] в уточнении нет необходимости, однако при рассмотрении сигнала и помехи по: рознь, как, например, в выражениях (13.20) и (13.22), необходимо учитывать, что Л-размерный коэффициент. Удобно нормировать А так, чтобы энергии входного и выходного сигналов были одинаковы, тем самым исключая из анализа усиление сигнала по энергии.

Энергия входного сигнала 5 = Bg(0), а выходного

5вых = f sb,x {t) dtA J BI (T) dx. (13.24)

- oo -oo

Приравнивая Эых величине Э, получаем условие нормирования коэффициента А

ВЛО) / J Bl(x)dx

(13.25)

Подставив этот результат в (13.20), находим пик сжатого сигнала

оо -11/2

W(g = S,(0) = [B,(0)P/

BI (т) dx

(13.26)