Jj L

Oil 1 J-zV-/

TT tTT

f 2 N-i

ZN-i к

-Z-1 0 1 2

Рис. 12.45. К вычислению корреляционной функции сш-нала по алгоритму рис. 12.44

Рассмотрим еще важный для практики вопрос об использовании БПФ при вычислении корреляционной функции дискретного сигнала. На основе выражений

(1=0

являющихся дискретными эквивалентами интегральных преобразований (2.136), (2.137), можно наметить структурную схему, представленную на рис. 12.44.

При входной последовательности из N отсчетов устройство БПФ рассчитывается на удвоенное число отсчетов (половина входов резервируется для обратного преобразования). Число отсчетов корреляционной функции Bs (k) равно 2N. Связь между последовательностями {S (k)) и {В (k)] иллюстрируется рис. 12.45.

Вследствие периодичности ОДПФ (с периодом 2Л) последовательность {Bs (*)}, k = 0,1,..., 2V - 1, эквивалентна четной относительно k последовательаости, изображенной в нижней части рис. 12.45.

Глава 13. ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛА НА ФОНЕ ПОМЕХ

13.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Центральной проблемой радиотехники была и остается проблема помехоустойчивости связи. Система связи должна быть спроектированной так, чтобы она обладала способностью наилучшим образом противостоять мешающему действию помех.

Проблема помехоустойчивости радиосвязи включает в себя большое число других проблем, охватывающих все разделы радиотехники: генерирование мощных колебаний, освоение и выбор волн, обеспечивающий благоприятные условия распространения, использование антенн направленного дей-

нейиый четырехполюсник

ствия, поиски новых видов радиосигналов и новых способов их обработки на фоне помех и т. д.

Для теории радиотехнических цепей и сигналов особый интерес представляет возможность ослабления вредного действия помехи с помощью линейной фильтрации, основанной на использовании линейных частотных фильтров. На протяжении длительного периода развития радиотехники к подобным частотным фильтрам предъявлялось требование возможно более равномерного пропускания спектра сигнала и возможно более полного подавления частот вне этого спектра. Идеальным считался фильтр с прямоугольной П-образной АЧХ.

С развитием теории информации и статистической теории обнаружения сигналов трактовка функций линейного фильтра, а также подход к его построению существенно изменились. Стало очевидным, что указанная выше трактовка имеет следующие недостатки: 1) не учитывается форма сигнала (которая может быть различной при одной и той же ширине спектра сигнала); 2) не учитываются статистические свойства помехи.

Поэтому фильтр с П-образной АЧХ не является оптимальным в тех случаях, когда имеется априорная информация о форме сигнала и характеристиках помехи.

Коренной перелом в теории и практике линейной фильтрации связан с появлением работ Н. Винера, А. Н. Колмогорова, В. А. Котельникова и других ученых, которые поставили и решили задачу синтеза фильтра, оптимального в определенном смысле для приема заданного сигнала, действующего на фоне помехи с заданными статистическими характеристиками.

В зависимости от решаемой задачи -- обнаружение сигнала, измерение его параметров или разрешение (различение) сигналов - критерии оптимальности могут быть разными. Для задачи обнаружения сигналов в шумах наибольшее распространение получил критерий максимума отношения сигнал-помеха на выходе фильтра. В настоящей главе рассматриваются только такие фильтры.

Требования к фильтру, максимизирующему отношение сигнал-помеха, можно сформулировать следующим образом. На вход линейного четырехполюсника с постоянными параметрами и передаточной функцией К (»«) подается аддитивная смесь сигнала s (t) и шума п (t) (рис. 13.1). Сигнал полностью известен; это означает, что заданы его форма и положение на оси времени. Шум представляет собой случайный процесс с заданными статистическими характеристиками. Требуется синтезировать фильтр, обеспечивающий получение на выходе наибольшего возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению шума. При этом не ставится условие сохранения формы сигнала, так"как для обнаружения его в шумах форма значения не имеет.

13.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА

Под синтезом фильтра будем подразумевать отыскание передаточной функции физически осуществимого фильтра, обеспечивающего упомянутую выше максимизацию отношения сигнал-помеха. Передаточную функцию будем представлять в форме К ii(o) ~ К (со) е"".

Таким образом, задача сводится к отысканию АЧХ К («) и ФЧХ (со) оптимального фильтра. Наиболее просто эта задача решается для сигнала, действующего на фоне белого шума с равномерным спектром W (со) = Wg - = const.

Для отыскания оптимальной (в указанном смысле) передаточной функции К (t«) составим выражения для сигнала и шума на выходе фильтра сначала порознь, а затем в виде их отношения.

Сигнал в фиксированный момент времени определяем общим выражением

W(g=- J S(co)K (И еdco =

J S(o))/((co)e"l«<"+*<" + "4

(13.1;

а среднеквадратическое значение помехи-выражением

J W(cu)/(2(co)do)

/Ссо) da

(13.2)

В выражении (13.1) S (со) - 5 (и)) е®« - спектральная плотность заданного входного сигнала s (О, а под tg подразумевается момент времени (пока еще не определенный), соответствующий максимуму (пику) сигнала на выходе фильтра. Смысл и минимально возможное значение подробнее рассматриваются в следующем параграфе, однако из простых представлений очевидно, что для образования пика требуется использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее окончания действия входного сигнала. Иными словами, /(, не может быть раньше момента окончания сигнала.

Составим теперь отношение

вых Со)

S (ш) К (<1)) е * "

©11 -

(13.3)

Воспользуемся известным неравенством Шварца

Fi{x)F,{x)dx

< \\Fi{x)Ydx \F,{x)fdx,

(13.4)

где Fi (x) и Fi {x) - в общем случае комплексные функции.

Это неравенство обращается в равенство только при выполнении условия

F{x) = AF\ (X),

(13.5)

т. е. когда функция F (х) пропорциональна функции, комплексно-сопряженной fi (х) {А - произвольный постоянный коэффициент).