зависит от длительности зубца, можно считать, что средняя мощность шума, квантования

Pg=AV12. (12.63)

Этот результат, выведенный для гармонического сигнала, можно распространить и на любой другой сигнал, в том числе и случайный. Отличие лишь в том, что функция q (t) будет случайным процессом из-за случайной длительности зубцов.

Нетрудно вычислить и отношение сигнал -помеха при квантовании. При высоте ступени Д и общем числе ступеней, укладывающихся в пределах характеристики АЦП, равном L, амплитуда гармонического сигнала не должна превышать величины LA/2, а средняя мощность сигнала - величины 1/2х X{LN2f (во избежание ограничения сигнала). Следовательно, отношение сигнал-помеха при квантовании гармонического колебания

PjPg < 3LV2.

Так как число уровней L связано с числом двоичных разрядов г соотношением L = 2, то последнее выражение можно представить в форме

P,/Pg=(3/2)22 (12.64)

Это соотношение можно рассматривать как частный случай общего выражения

Р,/Р,==3.227КЙФ, (12.65)

где /Спф - пик фактор сигнала, т. е. отношение максимального значения к среднеквадратическому.

При гармоническом колебании Кщ = V2, что и приводит к выражению (12.64); при случайном сигнале с нормальным законом распределения может быть принят 2,5-3 (см. §4.2, п.3); В этом случае PjPq « 2"/3, а среднеквадратическое напряжение сигнала не должно превышать ~ LA/6. Физический смысл выражения (12.65) очевиден: с увеличением числа разрядов г очень быстро возрастает число дискретных уровней, приходящихся на заданный диапазон изменения s (/), и, следовательно, снижается перепад А двух соседних уровней.

При грубой оценке превыи1ения сигнала над шумом квантования исходят из соотношения PJPq « 2 или, в децибелах,

ОдБ = (Р,/Рд)дБ = 10 Ig 22= 10.2/- Ig 2 « 6г. (12.66)

В современных АЦП число разрядов достигает десяти и более. При этом величина D характеризующая динамический дапазон АЦП, равна примерно 60 дБ (6 дБ на один разряд) .

Другой важной характеристикой шума квантования является его спектральная характеристика. При гармоническом колебании на входе АЦП помеха квантования является периодической функцией времени.Спектр ее является линейчатым, содержащим только частоты, кратные частоте входного колебания. Из-за зубчатой формы функции q (t) (см. рис. 12.29, в) спектр шума богат высшими гармониками.

При входном воздействии типа случайного процесса с дисперсией о1 и со среднеквадратической шириной спектра статистические характеристика шума квантования зависят не только от характеристик исходного процесса s (t), но и от соотношения между и А. В частности, при > А

1 При пикфакторе КпФ ~ 3 [(см. 12.65)] D уменьшается до 5,5 дБ на один разряд.

пТ Ш)Т тТ \ f

Рис. 12.30. К определению ошибки квантования

ширина /о ск спектра шума квантования W q (со) во много раз больше ширины Дк спектра процесса s (/).

Введем в рассмотрение дискретизацию входного сигнала. На рис. 12.30 представлены одна из реализаций случайного сигнала s{t) и совокупность выборок, взятых с шагом Т. В

АЦП каждая выборка преобразуется в цифровой код, как это было описано в §12.1 и в начале данного параграфа для постоянного напряжения.

Как это очевидно из предыдущих рассуждений, преобразование осуществляется с ошибкой, заключенной в пределах ± Д/2. Если выборки берутся из случайного сигнала, а изменение функции s (г") за время Т превышает А или тем более несколько А, то ошибки в различные отсчетные моменты времени пТ и (п \ \) Т можно считать взаимно независимыми и равновероятными. Дисперсия случайной величины q, равновероятной в интервале (-А/2, Д/2), равна (1/3) (А/2) (см. § 4.2, п. 1). Этот результат совпадает с выражением (12.62), полученным усреднением мощности шума квантования по времени. Сделанные выше допущения равносильны утверждению, что дискретная последовательность ошибок q (пТ) соответствует выборкам из некоррелированного шума, т. е. шума с равномерным спектром. Этот спектр, как отмечалось выше, во много раз шире спектра исходного случайного процесса S (t). В связи с этим шум квантования обычно рассматривают как белый шум, аддитивный по отношению к s (t). Так как квантование осуществляется на входе цифрового фильтра, то шум квантования можно трактовать как собственный шум цифрового фильтра (отнесенный к его входу).

Определим спектр шума квантования. Пусть полная ширина спектра шума квантования в отсутствие дискретизации равна fq ек- При дискретизации шума квантования с шагом Т = l i результирующий спектр является суммой парциальных спектров, сдвинутых один относительно другого на o)i~ = 2л;/Т (см. § 2.17, рис. 2.35). Особенностью рассматриваемого случая является то, что ск S = /i, так что имеет место многократное перекрытие спектров.

В пределах частотного интервала (О, /,) мощность каждого отдельного спектра (AV12) fJfqcK- Но число перекрывающих спектров равно fqcJfi-Результирующая мощность шума квантования в полосе (О, Д) будет AV12. Можно поэтому считать, что в указанном частотном интервале спектр равномерен (белый шум) и равен

«.(со) =(AV12)(l i), 0</</i. (12.6p

При АЧХ цифрового фильтра Кт{а) спектр шума квантования на выходе фильтра

д вых

(СО) = (1 /12) (AVfi) Kf (со), - cOi/2 < со < cOi/2,

а средняя мощность (дисперсия)

а вь,х =4г4 -ir J KH)dco.

12 /j 2л

(12.68)

(12.69)

-и,/2

Для иллюстрации количественной стороны вопроса определим основные параметры шума квантования на выходе режекторного фильтра второго порядка, рассмотренного в п. 3 § 12.8, при следующих данных: число разря.

дов квантования г = 8; раствор характеристики АЦП 10 В; шаг дискретизации Т = l i = 1 мс; /i = 1000 Гц.

Шаг квантования А найдем, разделив 10 В на число уровней:

L = 2 = 2« 256, А = 10/256 л; 0,04 В = 40 мВ. Дисперсия шума на входе

0 « AVI2 = (4- 10-2)V12>» 1,3.10-* В2, (7, л; 1,1 • 10- В = 11 мВ. Основываясь на АЧХ Кт («>) = 4 sin (©Т/2) [см. (12.53)1, находим

10,/2 (й,/2

- Г /Cr(w)d«=- Г lOsin*-d© =

2зг J 2я J 2

-(oi/2 -u)i/2

2д \Т } ] Т

Применяя формулу (12.69), получаем

сг„ „„V = - 26 мВ.

Итак, уровень собственных шумов квантования на выходе рассматриваемого фильтра равен 26 мВ.

Форма спектра этого шума повторяет форму квадрата АЧХ:

йввых(«)~- 16sinii: «2.10-«sin* - В/Гц.

В заключение укажем на требования, предъявляемые к АЦП в зависимости от скорости изменения входного сигнала s {t). Длительность выборки То задается малой, чтобы изменение s (г") за время Tq было пренебрежимо мало. Во всяком случае, это изменение должно быть меньше Д. В современных АЦП То уменьшают до единиц наносекунд.

В § 12.1 указывалось, что электронный ключ, с помощью которого берутся из сигнала s (г") выборки, имеет /?С-цепь для запоминания уровня выборки на время, необходимое для срабатывания АЦП. В быстродействующих АЦП это время составляет десятки наносекунд.

12.11. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦИФРА-АНАЛОГ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО СИГНАЛА

Обратное преобразование сигнала из цифровой в континуальную форму производится с помощью двух устройств: 1) ЦАП; 2) синтезирующего фильтра (см. схему на рис. 12.1).

В ЦАП имеются набор источников фиксированных напряжений, соответствующих каждому из г разрядов, и устройство для синхронного подключения (или отключения) этих напряжений к сумматору в зависимости от поступающих из АЦП символов (имеется в виду схема на рис. 12.28, а). Напряжение на выходе ЦАП максимальное, когда со всех элементов поступают единицы. Пусть, например, число разрядов г = 4 и, следовательно, число ди-

В ряде применений цифровой фильтрации не требуется обратного перехода от цифрового сигнала к аналоговому. Так, в радиолокационных системах с цифровой обработкой сигнала последний вводится в ЭВМ непосредственно в цифровой форме.