а корреляционная функция в соответствии с (4.39) и с учетом [31, см.формулы

(3.896.3) и (3.896.4) 1

с» с»

0 p-TV4a

Тогда

Го (T) = e-V4a

и в соответствии с (4.78)

Q-x/ia (,os ©„ т =а е-V4a COS (0„ т.

(11.22) (11.23)

2n6(Q) + J e-V2ae-fiTT:

2пб (Q) + -i-l/2na e-<"V2 4

(11.24)

Слагаемое с дельта-функцией соответствует постоянной составляющей напряжения на выходе детектора.

График Wgbix () изображен на рис. 11.8, б. Ширина этого спектра в У2 раз больше ширины спектра Wx (©) на входе детектора (рис. 11.8, а).

Линейный амплитудный детектор воспроизводит огибающую узкополосного колебания независимо от особенностей структуры его спектра. Полученный результат свидетельствует о том, что огибающая каждой из реализаций рассматриваемого шума (на входе детектора) обладает спектром более широким, чем частотная полоса самой реализации. На первый взгляд это может показаться странным, поскольку известно, что для модулированного колебания ширина спектра огибающей либо совпадает с шириной спектра самого колебания (при AM), либо же его (при ЧМ). Это кажущееся противоречие легко устраняется, если принять во внимание полную корреляцию между колебаниями нижних и верхних боковых частот при модуляции. Достаточно нарушить, например, симметрию амплитуд или фаз боковых частот при AM, чтобы сумма трех колебаний с частотами соо, ®о + и - Q представляла собой колебание, огибающая которого содержит помимо частоты Q еще и частоты 2 Q, 3Q ит. д. В этом случае амплитудный детектор выделит на выходе колебание, спектр которого будет шире, чем полоса частот

высокочастотного колебания на входе. В спектре же шума нет никакой корреляции (и тем более симметрии) между спектральными составляющими, частоты которых расположены слева и справа от центральной частоты (Од. Естественно, что огибающая каждой из реализаций шума обладает спектром более широким, чем модулированное колебание с той же шириной спектра. Соответственно увеличивается и средняя ширина спектра огибающей шума, т. е. спектр огибающей.

Рассмотрим теперь воздействие гауссовского шума на квадратичный детектор. В данном случае напряжение на выходе детектора с учетом отфильтровывания вы-

-а г.

Рис. 11.8. Энергетический спектр случайного процеса на входе (а) и выходе (б) амплитудного детектора

сокочастотной составляющей шума по аналогии с выражением (8.55) можно представить в форме

u,ux{t) = KAHt)/2, (11.25)

где К - коэффициент, учитывающий параметр вольт-амперной характеристики диода «2 и сопротивление нагрузки на выходе детектора.

Применяя формулу (11.3), в которой под р (х) следует подразумевать плотность вероятности огибающей А (t), находим закон распределения шумового напряжения на выходе квадратичного детектора

Р ("..х)(к f)==4 е-" TJ-ih

(11.26)

Итак, при воздействии на квадратичный детектор с фильтром нижних частот узкополосного гауссовского процесса шум на выходе всего устройства имеет экспоненциальное распределение.

Вычислим среднее значение выходного напряжения

М ["вых (01 =1 "вых Р ("вых) Сг«вых = О

f "BMxe--b,x/«Jdu = 7(aL (11.27)

а также средний квадрат напряжения

оо л

М [ивых {t)\ = uLx Р ("вых) "вых

" О

J "1ых е-du,„,=2/(ai. (11.28)

Отсюда следует, что дисперсия шума на выходе

оь,х = М [иь,х (01- {М [иу, (Oli = 2/С а-ieot= al (11.29)

Для полного описания свойств шума на выходе квадратичного детектора остается вычислить его корреляционную функцию и энергетический спектр. Это можно выполнить с помощью формул (11.15), (11.16). Второе слагаемое в выражении (11.15) определяет искомую корреляционную функцию, а второе слагаемое в выражении (11.16) - соответствующий этой функции спектр.

При Го (т) = е-/*"- (см. предыдущий пример) получаем

зых (Щ = (Q) -f- W„, (й) = al

2кб (Q)+ J e-/»x

X e-"dT

= al [2яб (Q) -f К2ла e"""/ ]. (11.30)

Графики функций Wx (©) и W,x () no форме совпадают с графиками на рис. 11.8. Они отличаются только масштабом по оси ординат из-за различия в постоянных коэффициентах [аа* вместо nal/2 перед квадратными скобками в (11.24) и единица вместо 1/4 перед вторым слагаемым].

11.5. СОВМЕСТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА

И ГАУССОВСКОГО ШУМА НА АМПЛИТУДНЫЙ

ДЕТЕКТОР

При наложении узкополосного шума х (t) = А (t) cos Ыо( + Э (/)] на сигнал s (t) = Е cos (Ogt суммарное колебание

и ii) = S (t) + x(t) = Е cos соо + Л (О cos [cogt + Э (t)] =

= [£• + Л (/) cos 91 cos Mgt- А (t) sin 9 (/) sin = U (t) cos Ыд t+

+ 1(01- (11.31)

Огибающая U (t) и фаза (t) no аналогии с (8.43) и (8.44) определяются выражениями

U{t)==V + (О + 2ЕА (О cos 9 (t) . (11.32)

1(0 = arctg . (11.33)

£ + .4 (О cos 9(0

При анализе воздействия колебания на амплитудный детектор статистическими характеристиками фазы ? (t) можно не интересоваться (этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе применительно к частотному детектору). Основное значение имеет плотность вероятности р (U) огибающей U, определяемая по формуле [13,14]

piU) =4e-<"+<„fiL), (11.34)

где /о - бесселева функция комплексного аргумента (модифицированная).

Определяемая формулой (11.34) функция называется обобщенной функцией Рэлея. Графики функции р (U) для нескольких значений Е/Ох приведены на рис. 11.9. При Е/ах= О (отсутствие сигнала) выражение (11.34) переходит в (4.70). В другом крайнем случае, когда амплитуда сигнала Е очень велика по сравнению с o., кривая р (U) близка к гауссовской кривой с дисперсией а и средним значением, равным Е.

Рассмотрим сначала линейное детектирование. Будем считать, что напряжение на выходе детектора совпадает с огибающей амплитуд высокочастотного напряжения на входе. Тогда, основываясь на формуле (11.34), находим постоянную составляющую напряжения на выходе детектора

Vg = Л4 iU) [Up (U) du-L. e-V2o r 2 jJjLJL] dU.

J j V Ox 0.x/

и средний квадрат напряжения

М [U (t)] = Г f/V (U) dU = e-/" j W e- " \ X 0 0

\ Ox fxl

После вычисления интегралов [161 получаем следующие выражения:

Uo =(т,.1/я/2{/о {EVioi)-E/2ol [/„ (£V4a!)-f Л (£V4o?)]} е = ах ]/"{/o(/iV2)-}-/i4/o(V2)-t-/i(/tV2)l}e-V2, (11-35)