Если на входе нелинейного элемента с характеристикой у = f [х) действует стационарный процесс х (t), то ковариационная функция на выходе может быть представлена в форме

Ку (X) = М (yt yt+r) = М [/ (X,) / (Xt + r)],

(11.9) - со-

где х и Xf+t - значения х (i) в моменты времени < и < + т; г/, и г/+х ответствующие им значения у на выходе нелинейного элемента.

Для усреднения произведения / (л;,) / (л;, + т) должна быть известна двумерная плотность вероятности входного процесса р (л;,, х). Если эта плотность вероятности известна, то ковариационную функцию можно представить в виде следующего выражения:

Ку () = j J / (i) / (2) Р (xi, Xi) dxi dxi,

(11.10)

- 00 - 00

где для удобства записи через х и х обозначены соответственно Xf, Xf+x-Этот интеграл удается вычислить далеко не во всех практически важных задачах. В связи с этим часто приходится прибегать к различным обходным способам, один из которых будет приведен далее.

В качестве примера задачи, достаточно интересной для практики и доступной для решения прямым методом, рассмотрим воздействие стационарного гауссовского процесса х (t) на нелинейный элемент с квадратичной характеристикой у = ах (см. § 11.2, п.1).

Двумерная плотность вероятности процесса х (t) равна

x\~\-xl-2rxi хг 2ст(1-г2)

(11.11)

где г - коэффициент корреляции величин х и Хз, т. е. г = {%).

Подставив выражение ,(11.11), а также / (х) = ах в (11.10), получим

2ястУ1-г2

J х\ xl ехр

- схэ -схэ

2яоУ 1-Г2

Х\ ехр

2а2 (1-

x\~\-x\-2rxi Xi 2а{1-г2)

dxi dxi -

xl exp

x\ - 2rxi Хг 2ст{1-г2)

dxX dxi.

(11.12)

Интеграл в фигурных скобках легко вычислить, дополнив выражение xl - 2rxiXi до квадрата разности xl - 2rxiX2 = (х - гх) - rxf и заменив переменную Xj - rxj = z:

f- xi

= ехр

г х\

2ст(1-гП

J if .- 2rxi z-f г2 xf) e-/* - d2 = [K2 01 -r)3/2 + 0 + y2i ]/r=? X?].

1 См., например, (13, 14].

Подставляя этот результат в (П. 12), получаем

у2пах

01(1-г) Г xf e~i/djci +

Далее определяем j x?e-/2<dxi = l/2Ha, J xf е-"dxi-l/2 За.

- oo -oo

Таким образом,

Ку (x) = al a\ [(1 -r) + Зг] - a o% + 2ai a, r (x) =

alo\ + 2alRl{%). (11.13)

Здесь использовано известное соотношение (х) = Rx (х)/а [при М {х) = 01.

Особый интерес представляет воздействие узкополосного случайного процесса на нелинейный элемент (задача детектирования).

Представляя корреляционную функцию узкополосного процесса в форме (4.76) и учитывая, что

RI (т) = (tJ rl (х) [ + cos 2cOo т[, (11.14)

где Гр - огибающая корреляционной функции узкополосного процесса, записываем выражение (1.13) в окончательном виде

Ку (х) aWx + а\ rg (т) + al ai rg (т) cos 2шо т. (11.15)

Применяя затем преобразование Фурье, получаем общее выражение для спектра процесса на выходе квадратичного элемента (при гауссовском процессе на входе)

Wyi(.o)=ala2n6(bj) + alai л§(х)е-»Мт +

+ fll ol J rl (т) cos (2шо т) e-»- dj = (о) + W,(со) -f 1F„ (со). (11.16)

- oo

Первое слагаемое (дискретное) соответствует постоянной составляющей выходного колебания, второе - низкочастотной флуктуационной составляющей (спектр которой примыкает к нулевой частоте) и третье - высокочастотной флуктуационной составляющей со спектром, группирующимся вблизи частоты 2ыд.

11.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ УЗКОПОЛОСНОГО ШУМА НА АМПЛИТУДНЫЙ ДЕТЕКТОР

Амплитудный детектор, содержащий диод и фильтр нижних частот (/?С-цепь), представляет собой сочетание безынерционного нелинейного элемента с инерционной линейной цепью.

Расчленим рассматриваемое устройство на две самостоятельные части: 1) нелинейный элемент; 2) фильтр нижних частот.

Изложенные в предыдущих параграфах методы, а также некоторые другие специальные приемы позволяют в принципе найти закон распределения и корреляционную функцию шума сначала на выходе нелинейного элемента (диода), а затем и на выходе фильтра. В общем случае эти исследования требуют весьма громоздких вычислений. Задачу можно значительно облегчить, если использовать некоторые упрощения, вытекающие из принципа работы реальных устройств.

Рассмотрим сначала «линейное» детектирование, т. е. детектирование высокочастотного колебания с достаточно большими амплитудами. В данном случае под таким колебанием подразумевается гауссовский шум (в отсутствие сигнала), сформированный избирательными цепями на входе детектора. Как и при детектировании полезного амплитудно-модулированного колебания можно считать, что напряжение на выходе линейного детектора воспроизводит огибающую амплитуд высокочастотного колебания, в данном случае огибающую шума. Поэтому при линейном детектировании нет необходимости рассматривать отдельно статистические характеристики тока диода и напряжения на выходе RC-aenu. Напряжение Ugix (О, развиваемое на этой цепи, можно приравнять огибающей шума на входе детектора U (t) (т. е. считать, что коэффициент передачи детектора равен единице). При таком подходе статистические характеристики шума на выходе детектора полностью совпадают с приведенными в § 4,6 характеристиками огибающей А (t). Таким образом приходим к выводу, что напряжение шума на выходе линейного детектора обладает рэлеевским распределением

Р («вых) =рН = е-"вь.х/2<, Ооо. (11.17)

По формулам (4.71), (4.72) находим:

среднее значение (постоянная составляющая) шумового напряжения

fo-MK,(01-MH(01 =К"о,-1,26(т„ (11.18)

средний квадрат напряжения

M[«LK(0]=2a. (11.19)

Отсюда следует, что дисперсия шума на выходе линейного детектора аых = М («1ых) -UI = 2а1 al = 0,43(j1. (11.20)

Итак, основные параметры шума на выходе - постоянная составляющая и о и дисперсия оых - просто выражаются через дисперсию а высокочастотного шума, действующего на входе детектора.

Корреляционную функцию и энергетический спектр выходного шума нетрудно вычислить по формулам (4.77), (4.78).

В качестве примера рассмотрим воздействие на линейный детектор шума X (t), спектр которого определяется выражением

(©) = /Vo [е-«(»-»») + е-« (11.21)