4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛА

Дифференцирование сигнала Sj (t) можно трактовать как почленное дифференцирование всех гармонических составляющих, входящих в его спектр. Но производная функции е paja ше, из чего непосредственно вытекают следующие соответствия: »

«1 (О Si И, (О = 4-№SiH - S.3 (ш). (2.59)

К этому результату .можно прийти также из общего преобразования Фурье

/wSj ((О) (wSi (oj).

Первое слагаемое в правой части обращается в нуль, поскольку при -±00 Si (/) -0 (условие интегрируемости сигнала). Аналогичным образом можно показать, что сигналу

s.,(0= ( Si(X)dx

- оо

соответствует спектральная плотность

S2(w)=(l ja))S, ((О). (2.60)

Следует, однако, подчеркнуть, что в отличие от операции icoSj (ш) операция (1/ш) Sj (ш) законна только для сигналов, отвечающих ycлoвию S (0) - О, т. е. для сигналов с нулевой площадью

I Si{t)dt = 0 (см. приложение 2).

5. СЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ

Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным, очевидно, что при сложении сигналов Si (t). So (/), обладающих спектрами Sj (m), (ы), суммарному сигналу s (t) = Si (t) + s., (0 + ••• соответствует .спектр S (w) S, (w) 4 S., (ш) 4 ...

6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ СИГНАЛОВ

Пусть рассматриваемый сигнал s (t) является произведением двух функций времени f (t) и g (t).

Используя общую формулу (2.48), определяем спектр сигнала s (/)

S(o))= \ s(Oe-""d?= \ /(?)g(Oe ""Л. (2.61)

- ос- - оо

Каждую функцию / (/) и g (t) можно представить в виде интеграла Фурье:

/(/) = - \ F(w)e""dw, g(0=J- Г G(cu)e"d(o. 2л } 2л .

- ос

См.: Математические основы современной радиоэлектроники / И, к. Большаков, Л. С. Гуткин, Б, Р. Левин, Р. Л. Стратонович. .М.: Сов. радио, 1968.

2 ик. l;ii>6 33

Подставляя в (2.61) второй из этих интегралов, получаем

оо р оо

SH- fit) J G(x)e-dx

G(x)

f(t)e""-dt

Заключенный в квадратные скобки интеграл по переменной / представляет собой спектральную плотность функции / (t) при частоте м - х. т. е. F (со - х). Следовательно,

S(co)=- j" G{x)F(M~x)dx.

(2.62)

Итак, спектр произведения двух функций времени f (t) и g (/) равен, (с коэс})фициентом 1/2л) свертке их спектров F (со) и G (со).

Из выражений (2.61) и (2.62) в частном случае со О вытекает следующее равенство:

\ f(t)g{Odt=-~ J G(x)F( x)dx. Заменяя в последнем выражении х на <о, получаем

j f(i)g{t)dt=- j G(co)F(-o))dco=r G((0) F* (со)do), (2.6.3)

где F* (o)) =- F (-со) - спектральная функция, комплексно-сопряженная функция F (со).

Аналогично можно показать, что произведению двух спектров F (со) х у G (со) = S (со) соответствует функция времени s (t), являющаяся сверткой функций f (t) н g (t):

s(0= [ [{y)g{t~y)dy= j f{t-y)g(y)dy =

F(co)G(a)) e"" сУсо.

(2.64)

Последнее выражение особенно широко используется при анализе передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции времени / (О и g (t) имеют смысл соответственно входного сигнала и импульсной характеристики цепи (см. § 6.3), а F (со) и G (со) - спектральной плотности сигнала и передаточной функции цени.

7. ВЗАИМНАЯ ЗАМЕНЯЕМОСТЬ oj И / В ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ ФУРЬЕ

Обратимся к общему выражению (2.48) и выясним свойства функции S (ш) для различных функций s (t).

1. Если s (t) есть функция, четная относительно /, то, переписывая выражение (2.48) в виде

оо л..

S((o)== I S (t) COS. Mtdf ~i I s(f)s.iuMtdt,

убеждаемся, что при четности s (t) второй интеграл равен нулю, так как произведение s (t) sin at является функцией, нечетной относительно t. а пределы интегрирования симметричны.

Таким образом, при s (/), четной относительно t, функция S (ш), определяемая первым интегралом, есть функция вещественная и четная относительно О).

2. Если S (t) нечетна относительно t, то в нуль обращается первый интеграл н

S(o))==r-г Г sinsinMtdt.

В этом случае S (со) - нечетная и чисто мнимая функция.

3. Если, наконец, s {t) не является четной или нечетной функцией относительно t, то ее можно разложить на две функции: четную s, (t) и нечетную So (t). При этом S (ш) представляет комплексную функцию, причем действительная ее часть четна, а мнимая нечетна относительно м.

Из п. I вытекает, что при четной функции s (t) можно произвольно выбирать знак перед t в обратном преобразовании Фурье 1см. (2.49)1: выберем знак минус и запише.м формулу (2.49) в виде

.s(/)=-!- I S(o))e "-rf(i).

2л ,1

В последнем интеграле заменим переменную интегрирования со на / и параметр t на со. Тогда левая часть должна быть записана в виде функции от аргумента со

s((o) = j* S{t) e-"W.

- ос

Но интеграл в последнем выражении можно рассматривать как спектральную плотность новой функции S {t), полученной заменой со на i в выражении спектральной плотности сигнала s (/).

Обозначим эту спектральную плотность через S (со). Тогда

S(co)2ns(w). (2.65)

Этот результат показывает, что переменные ш и в преобразованиях Фурье взаимно заменимы; если колебанию (четному) s {t) соответствует спектр S (to), то колебанию S (/) соответствует спектр 2ns (со).

2* З.т