интерес и поддающимися решению, а также прибегать к различным идеализа-циям характеристик изучаемой модели устройства.

Пусть на нелинейный элемент действует случайное колебание (напряжение, ток) с заданной плотностью вероятности р {х). Требуется найти плотность вероятности р {у) выходной величины у. Связь между у п х определяется нелинейной зависимостью у = f (х), имеющей смысл, например, вольт-амперной характеристики электронного, полупроводникового или иного активного элемента.

Если / (х) определяет однозначное соответствие между х ц у в каждый рассматриваемый момент независимо от значений х в предыдущие моменты времени (безынерционный элемент), то плотность вероятности р (у) находится из очевидного соотнопшния

Р {у) dy = р (х) dx, откуда с учетом неотрицательности р (х) и р (у) р{У) = Р {x)l\dyldx\.

Если обратная функция х = ф (t/) неоднозначна, то

р{у) =

+ ...,

(11.2)

<11.3)

П1.4)

где Xj, Хз,... - значения входной величины х, соответствующие рассматриваемому значению у.

Если характеристика у = f (х) постоянна на некотором интервале изменения X, то выражение (11.3) следует дополнить слагаемым с дельта-функцией, учитывающим интегральную вероятность пребывания х ниже (или выше) определенного уровня.

Нахождение р (у) проще всего пояснить на практических примерах. Здесь мы ограничимся случаем, когда р (х) соответствует нормальному распределению.

1. Воздействие гауссовского случайного процесса х (t) на элемент с симметричной квадратичной характеристикой (рис. 1I.I). Показанную на рис. 11.1 вольт-амперную характеристику можно реализовать, например, с помощью двухтактного включения двух диодов с квадратичными характеристиками (рис. 11.2).

При полярности напряжения, обозначенной на рис. 11.2, ток, равный «зХ, проходит через диод VD,. при противоположной полярности - через диод VD.,.

Рис. 11.1. Воздействие случайного процесса на нелинейный элемент с квадратичной характеристикой

Рис. 11.2. Двухтактное включение диодов

Рис. 11.3. Плотность вероятности тока в цепи с квадратичной вольт-амперной характеристикой при воздействии гауссовского случайного процесса

Рис. 11.4. Воздействие гауссовского процесса на однополупериодный детектор

Полагая у = а), dyldx = iax и учитывая, что какому-либо фиксированному значению у соответствуют два значения х, а именно л;, =

У yla и x-i = - YylOi, по формуле (11.4) находим

р{у)

р (+ Vyla2)!2a2 У у leu + р (-Vylal2a. Уу/а при г/>0, , j 5 О при у<.0.

Подставляя A;f,2 = Уа. в выражение для плотности вероятности р (х):

У 2л

получаем окончательно 1

-,( 2n2aJ

-у 1200%

-\/2ло,

при г/ > о, при < 0.

(11.6)

График этого распределения изображен на рис. 11.3. 2. Воздействие гауссовского процесса на однополупериодный детектор с линейно-ломаной характеристикой (рис. 11.4). В данном случае

( о, л при X О, ~ 1 О при x < 0.

Очевидно, что в соответствии с (П.З)

р{у) =

p{x = y/ai)

е при > о,

при у-<0.

Особое внимание следует обратить на поведение функции р (у) в точке (/ = 0. Так как у = О при любых отрицательных значениях х, то вероятность Р (у =0) равна вероятности того, что хО. Но вероятность Р (х0) = 12. Отсюда вытекает, что плотность вероятности р (у 0) = со.

Рис. 11.5. Плотность вероятности случайного процесса иа входе (а) и выходе (б) одиополупе-риодного детектора

Рис. 11.6. Воздействие гауссовского процесса на ограничитель

о Уп у

Рис. 11.7. Плотность вероятности случайного процесса на входе (а) и выходе (б) ограничителя

Это обстоятельство можно учесть, записав выражение для р (у) в форме

р{у) =

1/2я oi Ох

е при г/ > О, при у<0.

(11.7)

Слагаемое б (у) равно нулю всюду, кроме точки г/ = О, где оно обращается в бесконечность. При интегрировании же по у это слагаемое дает 1/2. Графики р (х) яр (у) изображены на рис. 11.5.

3. Воздействие гауссовского процесса на ограничитель (рис. 11.6).

По аналогии с предыдущим случаем нетрудно составить выражение

р(у)=-

Ну)

ai У2л о., Хо){у-Уо)

при ОуУо, при у<0 и у>уд.

(11.8)

Графики распределения х я у изображены на рис. 11.7. Приведенных примеров достаточно для уяснения метода определения плотности вероятности случайной величины на выходе нелинейного безынерционного элемента с любой вольт-амперной характеристикой. Простота этого метода обусловлена тем, что не учитывается влияние выходных цепей (инерционных) на работу рассматриваемого нелинейного элемента.

11.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СПЕКТРА

СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В БЕЗЫНЕРЦИОННОМ

НЕЛИНЕЙНОМ ЭЛЕМЕНТЕ

Прямое определение энергетического спектра выходного процесса по известному спектру на входе нелинейного элемента не представляется возможным. Единственный пут{. - это определение корреляционной функции с последующим применением преобразования Фурье.