ветвей. Для них при частоты имеют порядок 10-10 с"",

что соответствует частотам электромагнитных колебаний ИК-диа-пазона.

Таким образом, колебания решетки описываются набором 3N независимых гармонических осцилляторов. Энергия колебаний каждого из них может принимать дискретные значения

где квантовое число Лк, j = О, 1, 2, . . . означает уровень возбуждения осциллятора (к, /). Ему можно придать смысл числа элементарных возбуждений - квазичастиц, имеюгцих энергию Йсок, j и квазиимпульс Йк. Эти квазичастицы называются фононами. Скорость распространения фононов - групповая скорость гармонических волн

Vk,j = Vfccoy (к).

Для длинноволновых акустических колебаний ((о к) это скорость звука, составляющая в кристаллах 10-10 см/с. Для продольных колебаний скорость распространения всегда выше, чем для поперечных. По мере приближения длины волны к минимальной, равной удвоенному периоду решетки (при этом волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна), скорость стремится к нулю. Для оптических ветвей скорость равна нулю как на границах, так и в центре зоны Бриллюэна. Для некоторых областей зоны Бриллюэна скорости оптических и акустических фононов могут быть сравнимы.

Используя представления о фононах, плотность потока тепла, переносимого упругими колебаниями, можно записать в виде (1.83)

W = 5(o,,v,,,iV,.,, (1.180)

где iVk, j - число фононов данного типа (к, /) в единице объема кристалла, илда функция распределения фононов. При равновесии - это распределение Бозе-Эйнштейна

Ai=(exp--l)"\ (1.181)

В равновесных условиях поток отсутствует. Для нахождения неравновесного распределения iVk, j используется кинетическое уравнение

(iVk, /dtUn + (iVk, j/90cT = 0. (1.182)

Поскольку фононы - незаряженные частицы, единственным полем, создающим градиент Лк, j» является температурное поле. Поэтому

)пол = i-

Столкновительный член уравнения характеризует скорость возвращения TVk, j к равновесным значениям за счет процессов рассеяния.

Общие методы решения кинетического уравнения рассмотрены в [11]. Здесь мы кратко остановимся на релаксационном методе (приближении времени релаксации), предлагающем, что при малых отклонениях от равновесия столкновительный член кинетического уравнения можно записать так:

{dN, тот = - (iVk, J - Nl ,.)/Тк,(1.184)

Время релаксации - это среднее время между столкновениями или среднее время свободного пробега.

Решение (1.182) в приближении времени релаксации имеет

Пк, i .Nt,j-Nl,i = - Тк, vr. (1.185)

Подставляя (1.185) в (1.180), получаем

W = wZ-T«..Hv.,iV7)ci3fc. -(l-l 6)

Для реальных кристаллов даже при известных зависимостях iOj (к) и Tj (к) вычисление W - чрезвычайно сложная процедура, требующая проведения машинных расчетов. Для того чтобы проанализировать факторы, определяющие величину и температурную зависимость решеточной теплопроводности, мы предельно упростим картину колебательного спектра, приняв модель Дебая. Будем считать зависимость со (к) изотропной и полагать со /с, как в континуальном приближении (пренебрегая дискретной структурой кристалла). Функция распределения колебаний по частотам в теле единичного объема записывается в виде

g (со) - ЗcoV2я2г;

где V - усредненная скорость распространения продольных и поперечных колебаний. Максимальная частота сотах в модели Дебая вводится из условия, чтобы общее число различных колебаний (осцилляторов) равнялось числу степеней свободы, т. е. утроенному числу атомов, и определяется выражением

<Отах =V У бяЛа,

где TVa - число атомов в единице объема.

Время релаксации считаем скалярной величиной, зависящей отчастоты и в общем случае от температуры (т, = т (со, Т)).

В рассматриваемой модели выражение (1.186) приобретает вид

Отсюда в соответствии с (1.20) найдем выражение для удельной теплопроводности. Прежде чем его привести, запишем

дТ (ЛсоДоТ у2 кТ ~ ЩТ [ 2коТ )

и перейдем от интегрирования по к к интегрированию по частотам. В результате получаем

«тах

С т (со) со Jco

~ 2{2n)vkoT ] sh2(to/2/coT) •

Если перейти к безразмерной переменной х = Hay/kQT, то х запишется в виде

K = -(W { (1.187)

где Qd = Йсощах/о носит название температуры Дебая.

Так же как при рассмотрении электронов, введем усреднение по энергиям (по частотам)

<т>= T{x)x{sh-ydx/ J x{shydx. (1.1Й8) о о

Заметим, что в теории Дебая для теплоемкости единицы объема получается выражение

=т(*оГ)« $ x{sb-yd,. (1.189)

Таким образом, удельная теплопроводность

X = 1/зсг;2 <т> (1.190а)

или, если ввести среднюю длину свободного пробега фононов </ф> = <т>,

X = 4scv </ф>. (1.1905)

Обратимся теперь к рассмотрению механизмов рассеяния фононов. Гармонические волны (1.179) описывают стационарные состояния для идеального кристал[ла; вероятность их рассеяния, т. е. перехода из одного колебательного состояния в другое, в идеальном кристалле равна нулю. Она становится отличной от нуля при наличии возмуп1;ений - нарушений периодичности структуры (примесей, вакансий, межузельных ионов изотопов, дислокаций, границ кристаллитов, включений второй фазы и т. п.). В предельном случае очень чистого и совершенного кристалла нарушение периодичности связано с его конечными размерами. Наконец, если