Покажем, что для объекта

О, 60,

(10.57)

всегда условие нормальности выполнено. Не нарушая общности, примем Go = 1- Преобразуем приведенное уравнение к нормальной форме, приняв у = х;.

Xi - - Хг, Х2-ХЗ,

п-1

Хп = -chXn-aXn- - ...-On Xi + bu.

в векторной форме эта система уравнений принимает вид X = Ах + Би, где

0 1 О ... О 0 0 1 ... О

А = / ...............); В.

О О

а -а„ , -а„ о

Как легко вычислить.

АВ =

А«В.

-b -«2 b+alb

.... А"- В =

/ b \

поэтому

/о о b

О О ... -аЬ

det М = det

= стЬ" ф О,

О b b -Oib

а равен -1 или 1 в зависимости от п. В данном случае г - 1 и условие нормальности выполнено.

Необходимое и Достаточное условие оптимальности. В случае линейной задачи максимального быстродействия при выполнении условий нормальности принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности. Справедливо следующее утверждение [4]: если выполняется условие нормальности, то, для того чтобы допустимая для линейной задачи максимального быстродействия пара (и*(/), x*(f)) была ее решением, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла принципу максимума.

В оптимальном по быстродействию управлении линейным объектом функции u/(t) (при / = 1, г) принимают только граничные значения при любых собственных значениях матрицы А, если выполнено условие нормальности. В общем случае эти функции имеют произвольное число точек переключений - точек перехода с одного граничного значения на другое. В частном случае справедлива следующая теорема [4].

Теорема об п интервалах. Если в линейной задаче максимального быстродействия объект является нормальным {вы- полняется условие нормальности) и его характеристическое уравнение

det (А - sE)= О

имеет только действительные корни, то оптимальные управления и} (t) кусочно-постоянны, принимают только крайние значения и имеют не более п интервалов постоянства, т. е. не более п - 1 переключений.

Впервые теорему об п интервалах для нормального объекта, который описывается дифференциальным уравнением вида (10.57), сформулировал и доказал А. А. Фельдбаум. Как было показано, условие нормальности для такого объекта

всегда выполняется, поэтому для справедливости теоремы об п интервалах необходимо и достаточно, чтобы все корни его характеристического уравнения были действительны.

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то число переключений зависит от начальных условий. В каждом конкретном случае оно возрастает при удалении начальной точки от начала координат и может быть сколь угодно большим, но всегда конечным при любой начальной точке.

Задача с ограничением на фазовые координаты

Если на некоторые из координат фазового вектора накла-дьшают ограничение, то, вообще говоря, теорема об п интервалах неверна. Более того, принцип максимума в том виде, как он был сформулирован, несправедлив. Формулировка принципа максимума при наличии ограничений на фазовые координаты намного сложнее, и здесь она не будет приведена.

Чтобы познакомиться с некоторыми особенностями решения задачи с ограничением на фазовые координаты, рассмотрим простой пример.

Пример 10.7. Пусть требуется перевести из начального состояния в конечное за минимальное время объект, который описывается уравнениями = х, Х2 = и при ограничениях \и\ а, х Хзт и краевых условиях Xi (0) = jca (0) = 0; х (tf) = xS, {tf) = 0. Примем, что х[ > 0. Тогда, пока (/) < Лащ. оптимальное управление и* - а и фазовые координаты х1 = at, xl = atV2. Очевидно, координата х достигает значения хт в момент времени ti = xmla. Начиная с этого момента времени начинается второй этап, на котором ы* = О и координата х% остается постоянной и равной хщ, а фазовая координата

+ хт (t - tl).

Чтобы удовлетворить условию на правом конце траектории, должен существовать третий этап - этап торможения, иа котором и* = -а. Зависимости и* (/), X* (<) и х1 (t) от времени показаны на рис. 10.2. Оптимальные управление и траектории имеют вид, приведенный на Этом рисунке, если оптимальное время if > 2ti, в противном случае ограничение на фазовую координату не будет влиять на решение и оптимальное управление будет состоять из двух интервалов постоянства.

XI = atm +