Составим функцию Лагранжа:

в ней роль агрумента z играет вектор (х, и), и так как в нее не входит производная и, то уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид

Ц-~-Ц«0, £ = 1,2,...,п; Lu.= 0, jl,2.....г. (10.32)

Уравнения Эйлера-Лагранжа записывают также, используя функцию

/=0 А!=1

которая называется функцией Гамильтона нли гамильтонианом. Очевидно,

поэтому из (10.32) получаем

-1 = 1,2....,п; (10.33)

" =0. S-1.2,...,/-: (10.34)

Уравнения (10.34) называют условием стационарности. Это условие показывает, что на экстремали гамильтониан, рас сматриваемый при каждом фиксированном t £ Ug, tj] как функция от управления, удовлетворяет необходимому условию экстремума. Как увидим дальше, оказывается, что действительно, на оптимальной траектории гамильтониан как функция от U достигает максимума (или точной верхней грани) при оптимальном управлении. Сформулируем основной результат.

Правило множителей Лагранжа. Если допустимая пара ("(0. (О) является решением задачи оптимального управления (10.28)-(10.31), то найдутся такие не равные одновременно нулю множители Лагранжа, что эта пара удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа (10.33) и (10.34).

В соответствии с этим правилом, чтобы найти оптимальное управление и оптимальную траекторию, надо решить совместно уравнения (10.28), (10.29), (10.33) н (10.34) при краевых

условиях (10.30). Уравнения Эйлера-Лагранжа получены при предположении, что управление и() является непрерывной функцией, а траектория \{t) - гладкой на интервале [о, tf]. Правило множителей Лагранжа остается справедливым и в том случае, когда и() принадлежит классу кусочно-непрерывных функций, а х() - классу кусочно-гладких функций. Только если оптимальное управление u(t) имеет разрыв 1-го рода в каких-либо точках (эти точки называются угловыми), то оно само и соответствующая ему траектория х() должны удовлетворять указанным выше уравнениям лишь в точках непрерывности управления. В угловых точках должны выполняться так называемые условия Вейерштрасса-Эрдмана П, 7]

ф-=г1)+; Н- = Н+, (10.35)

где индексы «-» и «--» обозначают левый и правый пределы соответствующих функций.

Множители Лагранжа определяются с точностью до постоянного множителя. Действительно, они входят в уравнения Эйлера -Лагранжа линейно и однородно, и уравнения не изменяются, если все множители умножить на одно и то же постоянное число. Поэтому один нз постоянных множителей Лагранжа, не равный нулю, можно приравнять любому отличному от нуля заданному числу. Условимся в неособом случае (гро =/= 0) принимать = - 1. Дальше, если особо не оговаривается, будет подразумеваться неособый случай.

Для определения 2п -\- г -\- I неизвестных xi, i = \, 2, ... .., п, ijD,-, £ = 1, 2, nuj, i = 1, 2, ...,r, и К, k = \,2, I, имеется столько же уравнений. Но среди них имеется 2п дифференциальных уравнений, при решении которых появится 2п неизвестных (постоянные интегрирования). Эти неизвестные можно найти из краевых условий (10.30), которые содержат 2п соотношений. Таким образом, решение исходной вариационной задачи свелось к решению краевой задачи Коши.

Отметим еще раз, что уравнения Эйлера-Лагранжа являются только необходимым условием, т. е. любое решение исходной задачи является экстремалью, но не любая экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, является решением. Но если решение задачи существует и экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям, единственна, то, очевидно, эта экстремаль и будет решением.

Пример ЮЛ. Рассмотрим задачу поворота вала двигателя на заданный угол при минимальном расходе энергии:

Xi = X2; х. = и; Xi{0)=Xi{0) - 0;

j<:i(l)=l; л:г(1) = 0; У = иd/-> min.

Здесь для простоты принимается Uc = 0. Составим гамильтониан: i= -и + фл + Фа"- Уравнения Эйлера-Лагранжа и их решения имеют вид

. дН . дН ОН

и = 1Р2/2 = (-С, < + Q)/2.

Подставив полученное выражение для управления в уравнения объек та и решив их, получим

Используя краевые условия, получим:

.2(0)=Сз=0; JC, (0) = Ci = 0; С2=12; С,-И.

Поэтому для оптимальных управления и фазовой траектории имеем:

Задачи с подвижными концами и фиксированным временем

Если концы подвижны, то в классическом случае задача оптимального управления отличается от задачи (10.28)-(10.31) тем, что изменяются краевые условия и критерий оптимальности может иметь любой из указанных при классификации видов, т. е. в этом случае задача оптимального управления может быть задачей Лагранжа, Больна и Майера. Когда концы закреплены и время фиксировано, задача оптимального управления может быть только задачей Лагранжа.

Получим необходимые условия. Начнем с простейшей вариационной задачи с подвижными концами и фиксированным

временем J = go Ыо), yitf)] + \ /о (у. У, f) dt- extr. Функ-

ции go и fo непрерывны и дифференцируемы по всем своим аргументам. Порядок вывода необходимых условий такой же. как и в случае задачи с фиксированными концами. Некоторые