4. Проводят прямую из начала координат под углом 45° и по точкам пересечения ее с кривыми семейства строят график mg, = f{D (рис. 9.31, в).

Точки пересеченных кривых Dg, = fy{m и = /s(De) определяют математическое ожидание ту и дисперсию DeycT ошибки в установившемся (равновесном) состоянии нелинейной системы.

После того как будут определены математическое ожидание и дисперсия ошибки, по известным методам линейной теории можно при необходимости рассчитать математическое ожидание и дисперсию случайного сигнала в любой интересующей нас точке системы.

В заключение следует отметить, что метод статистической линеаризации может быть применен и к системам с несколькими нелинейными элементами. Если несколько нелинейных элементов включены последовательно друг с другом, то они могут быть заменены одним нелинейным элементом с результирующей нелинейной характеристикой, построенной по характеристикам отдельных нелинейных элементов. После этого производят статистическую линеаризацию результирующего нелинейного элемента и методом, изложенным выше, находят математическое ожидание и дисперсию в любой интересующей нас точке системы.

Если нелинейные элементы разделены друг от друга инерционными линейными звеньями, то каждый нз нелинейных элементов заменяется статистически эквивалентным линейным элементом. Так как для каждого линейного элемента нужно определить два статистически эквивалентных коэффициента k„ и ky, то в результате, чтобы найти все коэффициенты линейных элементов, приходится решать систему уравнений, содержащую q уравнений, где q - число нелинейных элементов в системе. В результате, естественно, расчеты значительно усложняются.

Хотя метод статистической линеаризации и является приближенным, он нашел широкое применение при инженерных расчетах нелинейных систем автоматического управления, описываемых дифференциальными уравнениями высокого порядка. Точность метода статистической линеаризации тем выше, чем уже полоса пропускания линейной части систем и чем oo.ibiite плотность вероятности иа входе нелинейного элемента прг.блпжается к нормальной.

i 10

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

§ 10.1. Общие положения. Постановка задачи. Классификация

В гл. 5 и 9 уже разбиралась задача синтеза оптимальных систем управления с заданной структурой - задача синтеза оптимальных параметров. В этой главе будут рассмотрены постановка и методы решения более общей задачи синтеза оптимальных систем управления - задачи синтеза оптимальной системы управления при нес)ИКсированнон структуре.

В общем случае автоматическая система управления состоит из объекта управления ОУ, регулятора Р и програм-матрра (задагчика) П, вырабатывающего задающее воздействие (программу, программное движение) (рис. 10.1). На схеме И обозначает совокупность внешней информации, которая поступает на программатор. Задача синтеза оптимальной системы состоит в том, чтобы для зацаи-ного объекта синтезировать регулятор и программатор, которые в определенном смысле наилучшим образом решают поставленную задачу управления. В соответствии с этим рассматриваются две род-CTseinibie задачи: синтез оптимального программатора и синтез оптимального регулятора. Математически эти гчадачи могут быть сформулированы единообразно и решаться однилт и теми же методами, но в то же время эти задачи имеют специфические особенности, которые делают целесообразным на определен-

Рис. 10.1

НОМ этапе нх раздельное рассмотрение. Особенности обусловливаются тем, что решение первой задачи связано, как правило, с определением программного управления, а решение второй задачи - с определением управления с обратной связью. Программным управлением называют управление в виде функции от времени. управлением с обратной связью - управление в виде функции от фазовых координат.

Системы с оптимальным программатором называют оптимальными по режиму управления, а системы с оптимальным регулятором - оптимальными по переходному режиму. Система автоматического управления называется оптимальной, если оптимальными являются программатор и регулятор. Часто программное движение бывает задано и требуется определить только регулятор. В этом случае САУ называется оптимальной (или оптимальной по переходному режиму), если оптимальным является регулятор.

Общая постановка задачи оптимального управления ,

Задача синтеза оптимальных систем управления относится к классу задач оптимального управления и формулируется как вариационная задача. При этом кроме уравнения объекта управления должны быть заданы ограничения на управление и фазовый вектор, краевые условия и выбран критерий оптимальности.

Пусть уравнение объекта задается в нормальной форме *

x = f(x. 11, .) (10.1)

или в скалярном виде

л, =Л(х. II. t). «-- 1.2.....п.

где X = (jc,, .... XnV - фазовый вектор; и = («„ .... иУ- управление или вектор управления. Как отмечалось в гл. 2, любое уравнение, разрешимое относительно старшей производной, можно преобразовать к равносильной нормальной системе.