Главная Нелинейные системы управления [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [ 70 ] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] Учитывая (9.149). можно записать St (уса) S, (-/о) - [VSTM »ф (/«)] [KsTh ( - /ш)]. откуда частотная передаточная функция формирующего фильтра «Ф (/«) = Si (/«)/]/5л«) = Si (/ш)/1/1. (9.150J Подставляя в последнее выражение s = /ы, получаем выражение для передаточной функции формирующего фильтра W(s)S,{s)/VT. (9.151, Зная передаточную функцию формирующего фильтра, находим дифференциальное уравнение вида (9.135), связывающее случайные процессы Z(t) и V(t). Если спектральная плотность (со) ие является дробно-рациональной функцией частоты или получена экспериментально, то для нахождения формирующего фильтра ее нужно сначала аппроксимировать дробно-рациональной функцией частоты. В заключение следует отметить, что если входные воздействия являются стационарными случайными процессами, то метод Калмана-Бьюси не имеет преимуществ перед методом синтеза оптимальных фильтров Випера. Этот метод в основном применяют для синтеза оптимальных нестационарных линейных фильтров. Он позволяет также достаточно просто находить структуру и параметры оптимального фильтра и в том случае, когда воспроизводимый сигнал Z(t) описывается полиномом со случайными коэффициентами: Z(t)=.ao+ait + ...-ha„i". где Со, Cl.....а„ - случайные величины с известными статистическими характеристиками. Синтез оптимальных линейных фильтров Калмана-Бьюси, проведенный первоначально для помехи в виде белого шума, был в дальнейшем развит на более общие случаи, например иа случай коррелированных* помех, имеющих неравномерную спектральную плотность, на случай нелинейной фильтрации и др. Заметим, наконец, что оптимальные фильтры Калмана-Бьюси, как и оптимальные фильтры Винера, позволяют решать не только задачу оптимального воспроизве- дения сигнала на фоне помех (фильтрации), но и задачи статистического упреждения, статистического дифференцирования и т. д. Пример 9.8. На входе линейной следящей системы действует стационарный случайный процесс С (/), спектральная плотность которого. (ш) (0)/(1+со2 Г) =2Dg 7-/(1+со Г) И случайная помеха F (t) типа «белый шум», имеющая спектральную плотность S/(w) = S/(0) = yV. Числовые значения коэффициентов Dg=100B2; Г = 20с: Л = 0,01 В/Гц. Определить методом Калмана-Бьюси оптимальную передаточную функцию системы, обеспечивающую минимум средней квадратической ошибки. 1. Так как система предназначена для воспроизведения полезного сигнала С (t), то преобразующий оператор Я (s) = I, воспроизводимый сигнал Z (t) = С {t) и, следовательно, S (to) = Sg (to). В соответствии с (9.149) представляем выражение для спектральной плотности Sg (to) в виде произведения комплексно-сопряженных сомножителей I-b/to"g l-jaiTg и находим S,{M = ySelO)/{l+iTg). 2. Рассматривая заданный стационарный случайный процесс G (<) как реакцию некоторого формирующего фильтра на стационарный случайный процесс V (t) типа «белый шум», имеющий спектральную плотность S„ (to) = L. находим частотную передаточную функцию этого формирующего фильтра по (9.150): 3. Находим передаточную функцию формирующего фильтра: V(t) V L X+sTg 4. Полученной передаточной функции формирующего фильтра соответствует следующее ди(5)фереициальное уравнение, связывающее случайные процессы G (О и V (Г): dG (t) ч А Sg (0) dG{t) 1 /г-~+С(0=/ -(0.или- = -С(0 + Чтобы привести последнее дифференциальное уравнение к виду (9.135), примем, что спектральная плотность белого шума равна S„ (w) «= L = Dg/Tg, тогда VSg (0)/Lr = 1 и окончательно слу-чайный процесс G (t) можно представить как dG {tydt = AG{t)+ V (О, где А = -l/Tg. Соответствующая этому дифференциальному уравнению структурная схема формирующего фильтра показана на рис. 9.21, а. 5. Уравнение (9.143) в данном случае имеет вид dr {t)/dt = L + 2Ar (О - г2 {t)lN. При постоянных значениях коэффициентов А, L и N это дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и приводится к следующему виду: dr/{L + 2Ar-ryN)-dt = 0. Интегрируя по общим правилам, получаем -r/N + A-УА + L/N yW+IjN -r/N + A + yA + L/N . -/«InCi. где Су - постоянная интегрирования. Последнее выражение можно переписать следующим образом: In---* =tyA + L/N. {-r/N+A + yA + L/N)C Новую постоянную интегрирования С находят из начальных условий при / = /о = 0. В соответствии с (9.144), начальное значение дисперсии ошибки г (to) = Rgg (tn, у = Rg (0) = Dg, поэтому постоянная интегрирования получается равной -Dg/N+A-yA + L/N -Dg/N + A + yA + L/N Таким образом, можно записать { -r/N + A -y7+L/N){-Dg/N + A + yA + L/N) {-r/N + A + yA + L/N)(-Dg/N + A-yA+L/N) Учитывая, что L - 2Dg/Tg, A = -l/Tg, и производя соответствующие преобразования, окончательно получаем rtyJL 0.5р(1 + УГ+р)-0.5р(1-ЬУтаеР* j « (1+0,5р-У1-р)-(1-Ь0.5р-ьУ1-1-р)еР где р = Sg (0)/Sf (0) - отношение спектральных плотностей воспроизводимого сигнала и помехи, на нулевой частоте. [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [ 70 ] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] 0.0009 |