а спектральная плотность полезного сигнала

(со) = (0)/(1 + (0 Г) = 2Dg Г/(1 + Г),

то оптимальная частотная передаточная функция может быть определена по (9.133):

Пз.опт (/со) = 1 - l/s7(0)/4(/ш). Подставляя в выражение для W.om (/w) значение

Ч (/(О) = ySg (0) -f (0) (1 + /ша)/(1 + iTg), найденное в примере 9.6, получаем

W VsTF)

иа.опт (/<Д) -I- , , , . -=

VSg(0) + Sf{0) 1-Ь/сок

VSg (0) + Sf (0) + I/STTOJ , а ySg (0) + (0)-Tg VsJJo)

VSg(0)-bS/ (0)(I-b/cua) ySg(0) + Sf (0)(H-/(oa)

Так как (см. пример 9.6)

а = Г/1/1+7= Vs7/VSg(0) + S(0),

то второе мнимое слагаемое равно нулю и поэтому оптимальная частотная передаточная функция системы

ш г,гЛ VSgyO) + Sf(Q)-ysm V5g(0) + S(0)(l--/toa)

~( yr+f ) 1+/ша

где p = Sg(0)/S(0).

Найденное выражение для Юз-опт (/ш), как и следовало ожидать, полностью совпадает с результатом, полученным в примере 9.6.

Основополагающие результаты Н. Винера были получены для случая, когда ко входу линейной системы приложены стационарные случайные воздействия с равными нулю средними значениями (центрированные случайные процессы).

В результате дальнейшего развития и обобщения методов синтеза динамических систем при случайных воздействиях были разработаны, например, методы синтеза при случайных воздействиях, приложенных в разных точках системы; методы синтеза при одновременном воздействии на систему регулярных и случайных сигналов; методы синтеза систем с ограниченной длительностью переходного процесса (с «конечной памятью»); методы синтеза систем, содержащих случайные параметры; методы синтеза систем при нестационарны?с слу-

чайных воздействиях; методы синтеза нелинейных систем, в том числе с применением цифровых вычислительных машин, и т. Д-

В последнее время при расчете систем, находящихся под воздействием случайных (в том числе и нестационарных) процессов, широкое применение нашла теория оптимальных фильтров, разработанная Р. Калманом и Р. Бьюси.

Оптимальный фильтр Калмана-Бьюси. Нахождение оптимального фильтра Винера основывалось на использовании интегрального уравнения Винера - Хопфа, при решении которого стационарные случайные процессы рассматривались в частотной области. В 1960 г. Р. Калман и Р. Бьюси рассмотрели проблему линейной фильтрации во временной области и, используя концепцию «пространства состояний», предложили новый эффективный метод синтеза оптимальных систем по критерию минимума математического ожидания квадрата случайной ошибки, применимый как для стационарных, так и для нестационарных марковских случайных процессбв. Так как в основе используемой Калманом и Бьюси концепции «пространства состояний» лежит предположение о том, что случайный процесс является марковским, то их подход к синтезу оптимальных линейных систем иногда называют марков-ской теорией оптимальной линейной фильтрации.

Описывая все случайные процессы не с помощью корреляционных функций или спектральных плотностей, а d помощью дифференциальных уравнений или уравнений состояния, Калман и Бьюси показали, что при случайных воздействиях оптимальная линейная система (оптимальный фильтр Калмана - Бьюси) должна удовлетворять некоторой системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Нахождение оптимальной системы по этим дифференциальным уравнениям намного легче, чем по интегр1льным уравнениям Винера - Хопфа, особенно в случае нестационарных случайных процессов.

Вывод уравнений оптимального фильтра был выполнен Калманом и Бьюси для многомерных случайных процессов. Познакомимся с основной идеей метода Калмана - Бьюси на примере более простых, но часто встречающихся на практике одномерных фильтров.

Допустим, что синтезируемая система должна воспроизводить Некоторый сигнал Z{t), представляющий собой в общем случае нестационарный случайный процесс. Пусть на входе Системы кроме этого сигнала действует также помеха F{t),

(9.136)

представляющая собой в общем случае нестационарный случайный процесс типа кбелый шум» с нулевым средним значением. Таким образом, суммарный входной сигнал

U{t) = Z(0 + F{t). (9.134)

Для вывода уравнения одномерного оптимального фильтра Калмана - Бьюси существенным является то, что случайный процесс Z(t) должен быть сначала представлен диффе-ренциальны.м уравне1шем первого порядка следующего вида:

dZ(t)/dt = A{t) Z U) + V{t), (9.135)

где A {t) - некоторая функция времени, зависящая от статистических характеристик случайного процесса Z{t); V(i) - нестационарный случайный процесс типа «белый шум» с нулевым средним значением.

Корреляционные функции нестационарных случайны.х процессов V(f) н F{t) имеют вид

(t, i)M IV (() V (т)! = L (Л б (/ - т);

R„ {t, r)MlF (О F (т)] =NU)b (t -т);

R.,{t, т)=0,

где L(t) и N{t) - непрерывные, непрерывно дифференцируемые функции времени, причем

L(0 > 0; N (t) > 0. (9.137)

В частном случае для стационарных случайных процессов V{t) и F{i) их корреляционные функции

(т) = L6 (0; R, (т) = N6 {(); R,, (т) = О, (9.138)

где L = const; N = const.

Если случайный процесс на выходе системы равен X(t), то случайная ошибка системы E(i), равная разности между воспроизводимым сигналом 7(<) и выходным сигналом X{f), имеет вид

EU) = Z(i) - X(t). • (9.139)

Калман и Бьюси показали, что оптимальная система (оптимальный фильтр Калмана - Бьюси), обеспечивающая в любой момент времени t > воспроизведение сигнала Z{i) прн минимуме математического ожидания квадрата случайной ошибки, должна описываться неоднородным дифференциальным уравнением вида

dX(t)/dt = Q{t) Х(0 + C{t) U(t). . (9.140)