Подставляя числовые значения коэффициентов, получаем /( = l l/yi + 2-100.20/0,01 = l-0,00156г=:1 1/с; Г = 20 "1/1+2-100-2/0,01 =0.032 с.

Следовательно, в нашем случае оптимальная передаточная функция замкнутой системы

Кз.0Пт(5)=1/(1-Ь5Г).

7. Определяем оптимальную передаточную функцию разомкнутой системы:

«опт (S) = Wa.oriT (s)/f I -IPa.oDT (s)I= l/(sT).

8. Определяем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке:

«йеопт «опт (S)] = sr/(I + sT).

9. Определяем спектральную плотность ошибки:

(«) = I «йЕопт (/«) Р («) + I «з.овт (/ш) Р (со) = = [7 coV(l+co2 П] i2Dg rg/(l-fco* Г)]+Л/(1-fco Г). Ш. Определяем дисперсию ошибки:

/>8=- J SJw)dw = DgT/{T + Tg) + N/{2T)

= 100.0,032/(0,032-Ь 20)-f0.01/(2-0.032) =0.316.

Средняя квадратическая ошибка, совпадающая в данном случае со средним квадратичёским отклонением, равна

ес.к = = 1/= Уо;316 = 0,562 В.

Оптимальный фильтр Винера. В тех случаях, когда иа входе системы автоматического управления (см. рис. 9.16) действуют полезный сигнал G{f) и помеха F{i), которые являются коррелированными между собой стационарными случайными процессами с равными нулю средними значениями, оптимальная импульсная переходная функция системы ка (0. удовлетворяющая условию физической реализуемости lk{t) - ~ О при 0J и обеспечивающая минимум средней квадратической ошибки, должна удовлетворять следующему интегральному уравнению:

? *опт«(1-)-г„(т) = 0, т>0. (9.124)

где Rjx) - Rg(t) + R,(t) + R+ /?,(т) - корреляционная функция суммарного входного сигнала U({) = G(t) +

1 т

+ /"(О; /?2u (f) = lim j z(<) u -f т) d< - взаимная кор

реляционная функция воспроизводимого выходного сигнала Z (t) и суммарного входного сигнала U (<)•

Уравнение (9.124) было получено Н. Винером в 1949 г. и называется интегральным уравнением Винера - Хопфа.

На основе решения уравнения (9.124) Н. Винером была предложена общая формула для нахождения реализуемой оптимальной частотной передаточной функции (оптимального фильтра Вннера)

оо оо

«?з опт (/") =-- f е - /" dt f IilM. ei dco. (9.125)

0 -oo

где (/со) = Sg (/со) + Sf (/со) - взаимная спектральная плотность воспроизводимого выходного сигнала Z{t) и суммарного входного сигнала U(t), причем ¥(/со) (-/со) = = Ч(/с.)р = SJco) = Sco) + 5Дсо) + 5Д/со) + S/Д/сй).

Следует обратить внимание, на то, что в (9.125) нижний предел внешнего интеграла должен быть равен нулю.

Если корреляция между управляющим сигналом и помехой отсутствует, то при применении (9.125) следует учесть, что

Sg, (/со) =Sfg (/со) = S,, (/со) - 0. (9.126)

На основе общей формулы (9.125) как частные случаи могут быть получены выражения для оптимальных частотных передаточных функций систем (оптимальных фильтров), осуществляющих при наличии помех воспроизведение полезного сигнала, статистическое упреждение (предсказание), дифференцирование и другие линейные преобразования управляющего сигнала в соответствии с (9.107).

Например, если рассматривают задачу воспроизведения полезного сигнала при наличии помех, то преобразующий оператор H{s) = 1, тогда

Z (О = G (0; S„ («) - Sg (со) + S, (со) -f Sg, (/co)-f + 5,, (/со);

S,„ (/со) = 5,„ (/со) = S, (со) + S,/ (/со).

(9 127)

в этом случае (9.125) может быть представлено в более простом виде:

tз.oпЛyo) = fi(/o)/F(;•ш). (9.128)

Чтобы иайти числитель выражения (9.128), разложим 5(/оз)/Ч(-/ы) иа простые дроби:

У-+ >-+ у (9.129)

где Xi - полюсы Su(/(o), расположенные в верхней полуплоскости; Tii - полюсы Sg(j(ii), расположенные в нижней полуплоскости; - нули ¥(-/ы).

Затем, отбрасывая слагаемые, имеющие полюсы в нижней полуплоскости, 1юлучнм

где коэффициенты Gj определяют по формуле

fl; =1(ш-Х;)5„(/ш)/¥(-/ш))„,;,.. (9.131)

Формулы (9.129) и (9.131) относятся к тому случаю, когда отношение Sg„ (/«)/Ч(-/ы) не имеет кратных полюсов.

Если это отношение имеет кратные полюсы, то методика определения Б(/со) остается прежней, но формулы разложения 5j,„(/cu)/4(-/м) на простые дроби будут другими.

Частны.м, ио весьма важным и распространенным на практике является случай, когда помеха является белым шу.мом со спектральной плотностью 5/(м) = 5,(0) = const, а спектральная плотность управляющего сигнала S (со) описывается дробно-рациональной функцией

(ш) = СЛсо=)/С, (со). (9.132)

где порядок Gj(co) превышает порядой Gi(co).

Полезно запомнить, что в этом случае оптимальная частотная передаточная функция может быть определена следующим образо.м:

W,.ou. (Ы) = 1 -КМОУ /Ч (/со). (9.133)

Пример 9.7. Условия задали такие же, как в примере 9.6. Определить оптимальную частотную передаточную функцию системы. Так как спектральная плотность помехи

5/(ш) = 5/(0) = W = const,