W{s) = W{s, Pi, Pn). где P; - параметры си-

стемы.

Требуется найти оптимальные параметры системы pi опт. Ргопт Рп опт при которых обеспечивается минимум средней квадратической ошибки.

Эта задача решается следующим образом: зная спектральные плотности Sg(co) и и передаточную функцию системы, определяют спектральную плотность ошибки Se(co), а затем,., пользуясь табличными интегралами, находят аналитическое выражение среднего значения квадрата ошибки в, которое получается зависящим от параметров системы:

e = f(Pi,P2,....Pn). (9-111)

Дифференцируя (9.111) по Pj, где i - 1, 2, п, и приравнивая нулю частные производные, находят п уравнений, из которых определяют оптимальные параметры системы рюпг р20пт. Рпоиг. обеспечивающие минимум средней квадратической ошибки.

Как правило, большинство, параметров системы изменять трудно либо невозможно, так как они определяются заданными техническими или конструктивными соображениями. Поэтому обычно выбирают два-три параметра, например постоянные времени корректирующих звеньев, коэффициент усиления разомкнутой системы и др. Если число переменных п не велико, то отыскание экстремума функции не вызывает затруднений. При большем числе п, когда явное выражение среднего значения квадрата ошибки через параметры системы определить затруднительно либо оно слишком громоздко, используют приближенные методы отыскания минимума выражения (9.111) путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков.

Параметры системы, выбранные по критерию минимума средней квадратической ошибки, оценивают затем, исходя из возможности их технической реализации и допустимых динамических показателей системы (времени регулирования, наличия и величины перерегулирования и т. д.).

Заметим, что указанная выше методика выбора оптимальных параметров системы может применяться и при одновременном воздействии на систему регулярных и случайных сигналов.

Пример 9.4. Условия задачи такие же. как и примере 9.1. Требуется определить оптимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы Копт, соответствующее минимуму средней квадратической ошибки, и вычислить среднюю квадратическую ошибку при

К - КопТ- л ,ч «

Ранее (и примере 9.1) было получено выражение для среднего значения квадрата ошибки

71l + tf=Dg[T+Tg+KTTgl/(T+Tg + KTl) + KN/2.

; 5(Для исследования на минимум средней квадратической ошибки 1йео.бходимо приравнять нулю производную от этого выражения по коэффициенту усиления разомкнутой системы. В результате получаем

TB4dK=-Dg[Tg(Tl-T)]/iT + Tg + KTlf + N/2.

Из последнего уравнения определяем оптимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы:

Копт = К(Ц - T)/{Tl)-(Tg + Г)/7-.

ff Подставляя числовые значении параметров, получаем . -

Копт = V2• 100 (20=> - О. ./(0,01 • 203) - (20 4- 0.1)/20 зо i /с.

Подставляя Коцт в выражение для среднего значения квадрата ошибки, получаем

.ш = -1-20-Ь30-0.Ь20)/(0,1 -Ь20-Ь30.20=) -1-

4-30-0,01/2-0,816.

Средняя квадратическая ошибка, соответствующая Копт.

ec.„mln = K„=Vo:8T6 = 0.904 В.

Пример 9.5. Условия задачи такие же, как и в примере 9. Требуется определить оптимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы Копт и вычислить среднюю квадратическую ошибку при К = Копт.

Ранее (в примере 9.3) было получено выражение для среднего значения квадрата ошибки

7 = ml (I) -hBf = Г + е7 = (V/K) + KN/2.

Приравниваем нулю производную от этого выражения по коэффициенту усиления разомкнутой системы:

drVrfK =-2VVK-f А 2=0.

Из последнего выражения определяем Копт = 4V4N. Подставляя числовые значения параметров, получаем

Копт = 1470:0=400=7.38 I/с. .• ...

Среднее значение квадрата ошибки; соответствующее Копт. = (1/7.38)=-Н 7.38-0.01/2 = 0,055.

средняя квадратическая ошибка

Бс.к min

= = УО.055 = о.234 в.

Графики изменения е, ej н в функции коэффициента усиления системы К приведены иа рис. 9.17.

Синтез при произвольной структуре системы. Пусть на систему действуют полезный сигнал G{t) и помеха F(i), которые приложены к одному и тому же входу (см. рис. 9.16) и являются стационарными случайными процессами с равными нулю средними значениями. Если полезный сигнал и помеха приложены к разным входам, то методом эквивалентных преобразований нх всегда можно привести к одному входу. Таким образом, суммарный сигнал на входе системы будет равен

1/(0 = С(/) + F{t).

Выходной сигнал системы X{t) связан с входным сигналом L/{t) уравнением

X{t) = WM U{i) = WM т) + F{t)l

где Wg(s) - передаточная функция замкнутой системы.

Допустим, что система должна воспроизводить некоторую функцию от управляющего сигнала

Z{t) = H{s) G{t).

Ошибка воспроизведения равна

E{t) = Z(0 - XU).

Задача синтеза в случае произвольной структуры линейной системы состоит в том, чтобы при известных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи найти такую физически реализуемую оптимальную передаточную функцию замкнутой системы W.пт (s), при копюрой среднее значение квадрата суммарной ошибки было бы минимально, т. е.

s={Z(/)-X(/)} = min. (9.112)

Рассмотрим задачу синтеза оптимальной передаточной функции lijj (5) считая, что нам заданы спектральные плотности полезного сигнала 5(ш) и помехи 5/(со). а также преобразующий оператор (алгоритм преобразования) H{s). Решение проведем для упрощенного, но часто встречающегося случая, когда полезный сигнал и помеха не коррелированы.