Зная е(/), можно по (9.21) вычислить среднюю кпадрати-ческую ошибку:

с. (О = (О = Vnl (t) + D,. (9.95)

Заметим, что если регулярная составляющая (математическое ожидание) ошибки, определяемая по (9.86), постоянна, то

? + = const. (9.96)

В частном случае, когда внешние воздействия не содержат регулярных составляющих, а представляют собой центрированные стационарные процессы, /Пе = О и критерием динамической точности системы можно считать дисперсию ошибки, которая в данном случае равна среднему значению квадрата ошибки:

?=De. (9.97)

или среднее квадратическое отклонение ошибки ,

a.YDl. (9.98)

Чтобы по известной спектральной плотности найти дисперсию ошибки прн случайных воздействиях, необходимо вычислить интеграл (9.89). Вычисление этого интеграла довольно сложно, поэтому на практике его выполняют двояко: либо аналитическим методом, используя стандартные (табличные) интегралы, либо методом графоаналитического интегрирования.

Аналитический метод определения дисперсии ошибки .Этот

метод основан па предположении, что как спектральные плотности, так и частотные передаточные функции, входящие в (9.90), являются дроб1Ю-рациональными функциями от со. Тогда (9.90) для спектральной плотности ошибки можно представить состоящим из слагаемых вида

Si(/co) == B(co)V (7co) . (9.99)

где В(усо), (/со) - некоторые полиномы от комплексной переменной /со.

Вычисление отдельных составляющих дисперсии ошиб-,. ки сводится к вычислению интегралов стандартного типа:

L f 6V(/co)c/co = -L fL£l/lco..(9.100)

Для удобства иитсгрирования (9.100) обычно представляют в виде

y„= L f llZli!-do>. (9.101)

2л J (/,о) (-/ш)

(9.102)

И (/") = Оо (/ш)" + «10o)"- + ...+ о„; (

M(H=io(H""-"+0"o}"- -1 ... + fc„-,. J

Полином M(/cu) содержит только четные степени (/ы), а полином (/ы) для устойчивой системы имеет все корни, рас-„оложепные в верхней полуплоскости корней.

Интегралы вида (9.101) вычисляются обычно с гюмощыо теории вычетов и могут быть для устойчивой системы при любом п представлены в виде

У„=д,/(2а,Д„). • (9.10,3)

а, { О do Go а, I О О fli «3 f О

О О О ! Q

(9.104)

совпадает со старпл1м определителем Гурвица, составленным нз коэф(})ициеитов Яо. i. 2. полинома (/со);

Оо Cj at ] О aj a3 r О "о О О \а„

(9.105)

сосиадаст со старшим определителем Гурвица, в котором первая строка заменена на Ьо. i. п-с-

Имеются таблицы значений стандартных интегралов У„ в виде формул, зависящих от коэффициентов а„, Oj, о„ и о. li fc„ i для значений п от 1 до 7. Табличные значения стандартных интегралов Уп для л от 1 до 5 приведены, например, в приложении 9.1.

Таким образом, при аналитическом методе определения Дчсперснн ошибки сначала определяют спектральную плотность оишбки Se(co), представляя ее в общем случае состоящей

/\(U))

1.0 Sf(0)

из слагаемых вида (9.99), и находят коэффициенты а, и bi полиномов Я(/со) и М(/со). После этого, пользуясь стандартными интегралами определяют отдельные составляющие дисперсии ошибки, а затем в соответствии с (9.93) находят дисперсию ошибки De.

Графоаналитическое определение дисперсии ошибки. Для

систем автоматического управления при л > 4 аналитический метод нахождения дисперсии ошибки становится довольно громоздким, поэтому в инженерной практике в таких случаях широко применяют графоаналитический метод. Этот метод особенно удобен в том случае, когда спектральные плотности полезного сигнала и помехи, а также амплитудно-частотные характеристики системы заданы графически.

Поясним сущность этого метода применительно к вы числению составляющей дисперсии ошибки dI от действия помехи. Рассмотрим, например, рис. 9.14, на котором приведены АЧХ замкнутой системы А/(а)) = tt/e(/o)), связывающая ошибку с помехой, и график спектральной плотности помехи S/(co).

Возводя в квадрат ординаты кривой Л/е (ю), вычисляем и строим график AfE (со). Перемножая затем ординаты Afe (со) и Sy(co) при одних и тех же частотах со, получим, график спект- ральной плотности ошибки Se(co). После этого определяем

значение интеграла J Se(co)dco, для чего подсчитываем вели-