Рис. 7.10

Рис. 7.11

ского трения, пропорциональны нормальным давлениям, а по направлению - противоположны скоростям движения, получаем следующую систему уравнений:

(7.10)

л: + (wo -Ь k) л: = О, sign х - sign х\ X + (cog -k) л: = О, sign х - -sign х. В первом и третьем квадрантах фазовой плоскости знаки жил: совпадают и фазовыми траекториями будут отрезки концентрических эллипсов с отношением вертикальной полуоси к горизонтальной, равным Ыа = Vcoo + k- Во втором и четвертом квадрантах это отношение равно Vcoo - Фазовые траектории скручиваются к началу координат (рис. 7.10). Для малых движение будет близким к движению линейной системы по уравнению

X + 2/1э X -f Шэ л; = О,

демпфирование;

fe/(cL)oJx) - эквивалентное = (Во - частота колебаний.

Система с отрицательной восстанавливающей силой. Для получения быстрых перебросов механических деталей из одного положения в другое использукэт пружины, стремящиеся увеличить возникающее отклонение (рис. 7.11). При малых отклонениях от вертикальной линии (состояния равновесия) уравнение системы будет

. х - 0)0 л; = р. Уравнение фйзовой траектории dyldx = ыЬх/у.

Интегрируя, получаем

(aoxdx-ydy=0;

(7.12)

Рис. 7.12

Это уравнение гиперболы (рис.. 7.12). Начало координат представляет собой особ/ю точку типа седла, соответствующую неустойчивому состоянию равновесия.

Если упругая сила является нелинейной функцией, т. е. 0)0 = ф (х), и при значении л; = лга обращается в нуль и меняет знак, то на оси х фазовой плоскости возникают две особые точки: X =0 (центр) и л: = л:„ (седло). Фазовый портрет системы показан на рис. 7.13. Траектория, проходящая через седло-вую точку и показанная на рисунке жирной линией, делит фазовую плоскость на три области с различным характером движения: область / с замкнутыми траекториями и равновесием типа центра и области а и 116 с траекториями, уходящими в бесконечность, и седловой особой точкой. Такие траектории, разграничивающие области качественно различных движений, называют сепаратриссами.

Линейная колебательная система с вязким трением. При наличии силы сопротивления движению, пропорциональной скорости (так называемой силы вязкого трения), уравнение системы будет.....

x + 2/ix-f ох-О; Л>0. V

При этом корни характеристического уравнения

При комплексных корнях, когда <С соо, имеем

Si 2= -h±ja, cl) = Vcl)o - h.

Решая уравнения (7.13) при начальных условиях х (0) = х. у (0) = г/о. получим

X •= [{уо + /iXo)/cu] е - sin ыг + лго е -cos сог. (7.14)

Для исследования характера траекторий поместим точку Хо, г/о на ось абсцисс. Тогда х (0) = Хо, г/ (0) = О и

X = Хо е~(Л sin (о/ы + cos ш); г/= - Xoe-(/i/(u + cl))sincuf.

(7.15)

Кривые X {t) и у (f) представлены на рис. 7.14. Нетрудно видеть, что каждое из последующих пересечений фазовых траекторий с осью х будет ближе к началу координат, чем предыдущее. Траектории представляют собой скручивающиеся к

началу координат спирали (рис. 7.15, а). Начало координат является особой точкой типа фокуса: любая траектория с течением времени приближается к ней сколь угодно близко, но угол вхождения траектории в фокус установить невозможно, поскольку dyldx в точке х = г/ = О не существует.

При отрицательном демпфировании h -< О фокус неустойчив и траектории будут от него беспредельно удаляться. Движение представляет собой колебания с нарастающей амплиту-Рис. 7.15 дой (рис. 7.15. б).