Пример 7.3. Покажем, как частотный критерий может быть использован при неустойчивой линейной части. Пусть передаточная функция W (s) равна

\(s)- --; а>0; Р>0. (7.88)

(s + a)(s-P)

т. с. Б состав линейной части входит неустойчивое звено.

Представим схему системы в виде, изображенном на рис. 7.45, с н запишем уравнения в переменных состояния в виде

Xi - f>Xi + X2; Jt2= -ctJa + E: Е = Ф(о): o=-Xi. (7.89)

Иногда удается преобразовать линейную часть наиболее простым способом, охватив ее отрицательной обратной связью:

где g - скалярная постоянная. Тогда-

Wi(s) W {s)/[l + gW (S)]. (7.90)

Однако следует проверить, существует ли такое преобразование, т. е. существует ли такое g, при котором характеристический полином линейной части будет гурвицевым.

В нашем случае, подставив в (7.89) = 1 - gXi, получим новые уравнения:

Xi = PJi -- ху, Х2 = -gxi -а.г2 + ; I, =Ф(а)-Ь ga=<pi(a); a = .v,.

Характеристический полином новой системы

«2 + (а - Р) S + g - ар.

9(6)

Рнс. 7.45

9z(P-P)\-

I I I I

Рис. 7.46

Отсюда видно, что такое стабилизирующее значение g существует, если а > р.

Пусть это условие выполнено. Тогда, включив обратную связь, получаем устойчивую линейную часть с передаточной функцией (s) и можем применить частотный критерий. Но чтобы схема с такой преобразованной линейной частью осталась эквивалентной исходной, нужно соответствующим образом видоизменить и нелинейный элемент. Новая нелинейная характеристика теперь будет ф (о) + gc, поэтому на схеме нужно охватить нелинейный элемент ф (а) отрицательной параллельной связью с тем же коэффициентом g (рис. 7.45,6)

Если характеристика <р (а) принадлежала, например, сектору (О, К) и для нее можно было (в случае устойчивой линейной части) использовать критерий Попова, то теперь нелинейность <pi (а) принадлежит другому сектору.

-g < Ф - g = [ф (о) - gc]/c К - g.

Вместо критерия Попова теперь уже нужно применить более сложный критерий: или круговой, или, если система стационарна, его можно усовершенствовать способом, аналогичным тому, который использовался при получении критерия Попова. Такое расширение условия Попова на системы с нелинейностью из нового сектора имеет вид

Re {[1 + gWi (/со)! [1 + (g + К) (У0))1* + fxaW (/со)} > 0. (7.91)

Пусть теперь р < а и стабилизация рассмотренного простейшего вида невыполнима. Найдем g в виде вектора g = {gi, gg}. Введем переменную = I, I gXi 4- g2X2 и, подставив ее в исходные уравнения (7.89), получим новые уравнения:

л1=Рх1 + -2;

xz giXi - (gi -«) Xi + \i;

?i = Ф (o) + Й о + (ft -g2 P) а=ф1 (о);

(7.92)

Характеристический полином этой системы

s2 + (a-P-g2)s+P(g2+a)-gi.

Так как р > к, то можно выбрать

< а - Р, gi < Р (g2 - а).

Преобразованные передаточная функция линейной части и нелинейного элемента теперь будут

. - . , . 1

WAs)= ,..,.(«-g2-p)s+P(g2-a)--gi

<р, os!.9(a)+g20+(gi-g2P)o.

Нелинейность получилась достаточно сложной (рис. 7.46), зависящей не только от I = <р (о) и о, но и от о, и можно применить общий частотный критерий, который можно будет вывести из общего условия (7.72).