о наличии свойства экстремальности у У (х) и о необходимости соблюдения условия

J (X*) < J (х), (11.4)

где X - допустимая область изменения управляемого параметра.

Отсутствие любой другой информации о свойствах функционала J {х} приводит к необходимости последовательно определять значения функционала качества внутри допустимой области изменения управляемого параметра.

Если обозначить допустимый интервал изменения параметра X через А, а заданную точность в достижении экстремума - через 8 >0, то в результате сканирования определяют п значений функционала качества в точках Xi, х, .... х:

Ji{x,). J,{x,), .... y„(n), (11.5)

где п А /е + I.

После перебора всех значений Ji (xt) выбирают максимальное или минимальное значение:

J {x*)=min {JAXi)}. t-1,2,..., п. (11.6)

Длительность процедуры поиска при сканировании в основном определяется задаваемой точностью е. Например, при допустимом интервале изменения А = 5 единиц и заданной точности 10 % необходимо сделать замеры в

п = Л/е -1- 1 = 5/1 + 1 = 6 точках. (11.7)

При заданной точности е = 1 % количество замеров существенно увеличивается:

п = 5/0,1 -h 1 = 51. (11.8)

Регулярность метода сканирования определяется заранее задаваемым порядком перебора значений. Чаще всего используют два способа при обходе точек: строчная развертка и спиральная развертка (соответственно рис. 11.3 и 11.4). Оба правила обхода обеспечивают просмотр всех допустимых точек без пропусков.

Метод Гаусса-Зайделя. В методе Гаусса-Зайделя используют дополнительную информацию о виде функционала качества J (х), в частности предполагают, что J (х) является унимодальной функцией, т. е. функцией, имеющей один экстре-

Ч 3 Z

2 3 Рис. 11.3

5 X/

1 г J

Рис. 11.4

мум. Условие унимодальности можно записать следующим образом (для поиска минимума):

y(Xi)<y(x2) при

J (Xi) > J (Хг) при Xi < Хг < Х„1„,

(11.9)

где Xmiij - положение минимума; Xj и Хг - произвольные положения относительно точки минимума.

Условие унимодальности позволяет значительно сократить число просматриваемых точек по сравнению с полным перебором.

В основу метода поиска положено исследование полной производной экстремизируемого функционала

dJix)ldt [dJ{x)/dxt]xi,

(11.10)

(= 1

где X,- = 2- Он Ш {x)/dxi] г = 1, 2, .., п; /=1,2, /г; г=1

Пц- коэффициенты, характеризующие отклонение от экстремума. Отсюда

dJ{x)/dt=!. ar,\dJ {x)ldxi\\dj{x)ldxi]. (11.И)

В точке экстремума Xi - х, extr имеем [6J(x)/6xjpxtr = О-поэтому во всех точках, кроме Xextr. функция (П.П) должна удовлетворять условию монотонного приближения к экстремуму:

d/(x)/d/>0 для максимума; (И 12)

dJ {x)/dt <iO для минимума, f

Пример 11.1. Пусть функция качества имеет вид, представленный па рис. 11.5.

J [х,. х)=х1+х1-{-ахХг. (11.13)

где а = const, о = 1,5 и поиск начинается из точки х, = 3, х - 3. Изменяем координату х, оставив х постоянной. Тогда функция качества

./(х,, 3)=Af-f9 + 4.5x,. (11.14)

Минимум J (Xi, 3) находим, приравнивая нулю частную производную dJ (х,, 3)/dX], т.е.

(Xi, 3)/axi = 2xi -f 4.5 = 0. (11.15)

• Отсюда первый экстремум по х равен

Xl = - 2,25 (11.16)

и ему соответствует на рис. 11.5 точка с координатами Xi 2,25, Ха = 3.

Теперь оставим координату х, на уровне - 2,25 и будем изменять

!.55х,; I

2,55 = 0, X, =-1,27. j

(11.19)

/ [(-2,2.5), XjJM5-fxi-3,4x,). (11.17)

Находим минимум функции по х:

dJ К-2,25), Xjj/dxa = 2xj -3,4 =0, Xj = 1,7. (11.18)

Данному экстремуму соответствует точка И з на рис. 11.5 с координатами X, = - 2,25, Xj, = 1,7. Повторяем цикл вычислений лля координаты Xj, закрепляя найденное значение Xj = 1,7, т. е.

J (X,, 1 ,7)=xf-b2.9-f2,55x,;

dJ (X,. l,7)/ax, ==2A:,-f 2,

В результате поисковых движений получаем ломаную линию, состоящую из взаимно перпендикулярных прямых, точки излома которой находятся в местах касания этих прямых с кривыми:

J (Xl, Xj) s const.

в методе Гаусса-Зайделя производится поочередное изменение координат Xl, Хг.....x„ и определяются частные экстремумы dJ (x)fdXi = О по каждой из координат, при этом все координаты, кроме выбранной, закрепляются.

Взяв координату Xi, при Рис. п.,