в примере 10.25 для такого шума было получено уравнение формирователя

г = -г + ю; М£4) = 0; М ftw (О и»(/)) = б (/ - /).

В данном случае А = О, и = О, С = 1, Qo = 0; D = - 1, Ro = 1, "8=0, поэтому из (10.225) и (10.226) получаем: С=1, Ro=l, So = 0. Из (10.228) и (10.227) находим

}?= Ао7+(А«-1 .bfe«)y; x{0) = ~kO(0)y(0): 7 = Г+Й«у. Так как So = О, то /feo и р определяются из (10.195):

feO = p; р = рЗ. р(0) = ро. - Как легко проверить,

Р = РоП1+Ро(), ko=po/{l+Pot).

Сингулярная (вырожденная) задача линейного оптимального оценивания. Задача линейного оптимального оценивания называется сингулярной или вырожденной, если матрица интенсивности шума наблюдения вырождена. Сингулярные задачи возникают, когда часть компонент выходной переменной измеряется точно или когда шум наблюдения является цветным и матрица интенсивности обобщенного шума наблюдения является вырожденной. Если задача оценивания сингулярна, то приведенные выше оптимальные наблюдатели использовать нельзя, так как в их описании используется обратная матрица Но.Если шумы являются цветными, то согласно выше описанным процедурам исходная задача может быть преобразована. Поэтому рассмотрим сингулярную задачу линейного оптимального оценивания с белым шумом.

Представим уравнения объекта и наблюдения следующим образом:

x = Ax-fBu-hVo; x(g=xO; (10.229)

y<"=CiX(0 + V„, (10.230)

у<="=С2Х. (10.231).

Шумы имеют следующие характеристики:

MV„ = 0; M{V„ (t) VI (t)} = Qo (0 б (t Qo(0>0;

MV„ = 0; M{V„(OVr(r)} = Ro(OS(f-r); Ro(0>0; M{V„ (0 vl (?)} = So (0 б (t-t); So (0 > 0.

Они не коррелированы со случайным вектором х", имеющим следующие характеристики:

Мх» = х»; М {(хо -хо) (х"-xof] = Ро-

Компоненты вектора у<> измеряются точно. Пусть размер этого вектора равен pi и матрица Са имеет ранг р,. Тогда соотношение (10.231) дает pi линейных независимых уравнений для неизвестного фазового вектора. Поэтому достаточно получить еще и -• pi уравнений, которые совместно с (10.231) позволят

определить оценку х.

Введем переменный (л - pi)-BeKTop:

q(0 = Cx(0, (10.232)

где CJ - выбирается так, чтобы (п X /г)-матрица была

невырожденной. Зная q (t), можно однозначно восстановить х (О- Действительно, из (10.231) и (10.232) имеем

Введем (п х р,)-матрицу Lj и In X (п - р1)1-матрицу следующим образом:

(LiU={]]\ (10.233)

Тогда

x,0 = (LiLa)(y"]-Liy<=-fUq. (10.234)

\q /

Очевидно, если q - оптимальная оценка для q, то

ILiy + U q. (10.235)

Поэтому задача свелась к определению оптимальной оценки для q. Продифференцировав (10.232), получим

q=c;x+c;x=(ci-fc)x+c;Bu > cv„.

или, учитывая (10.234),

q = (С -f С А)Laq + (С, + С, А)Цу -f С Bu + V„.

Последнее уравнение можно представить в виде

• q = Aq+u-b V„, (10.236)

a=(c; + c;a)u й=(с;-ьс;а)Ьгу -ь

+ СВи; V<, = C;V<,. (10.237)

Преобразуем уравнения наблюдения: нужно получить уравнения, связывающие измеряемую величину с переменной q. Подставив выражения для х из (10.234) в (10.230), получим

y< = C,q+V„,

y(i)=y(i) CiLiy(2); Cj-QL. (10.238)

Продифференцировав (10.231) и используя (10.229) и (10.234), получим

y(2)=C2q+c,V„

у(2) = у(2) (с + Сг А) у(2> -Сг Ви,

Сг=(Сг + С1А)Ьг. (10.239)

Используя обозначения

у= ; с= ; v„= , (10.240)

уравнение наблюдения можно представить в виде

y = Cq + V„. (10.241)

Таким образом, чтобы найти оценку q, нужно найти фильтр Калмана-Бьюси для системы J10.236), (10.241). Найдем характеристики для шумов Уо и У„. Из (10.237) и (10.240) следует, что интенсивность Qo шума V„, интенсивность Rq шума V„ и взаимная интенсивность Sq этих шумов определяется следующим образом:

Q. = «0.c;. й, = (

So=(C2So cQoC). (10.242)