Это соотношение потребуется в дальнейшем при доказательстве принципа разделения. Из (10.215) путем дифференцирования получаем следующее уравнение для дисперсионной матрицы (дисперсионное уравнение):

Q=GQ + QG + HSH. (10.217)

Из (10.215) также имеем

Q(g-Qo. (10.218)

Теперь получим уравнение для дисперсионной матрицы ошибки. Вычитая (10.192) из (10.189), получаем уравнение для

ошибки е = X - х:

4 = (A-K<C)e-i-Vo-КоУд. (10.219)

Начальное значение е (Q имеет следующие характеристики:

Ме(д=0; M{e(4)e4W = Po.

Оно не коррелировано с шумами. Уравнение (10.219) получается из (10.212) при Z = е. G = А - КС. Н = Е,

w = V„-KV„, h(0 = 0. Qo = Po.

Получим выражение для интенсивности шума S (f):

S (О 6 {t-п = м {[Vo (О - К« it) v„ (01М (П-

~<{nK°4t)] = lQo{t) + KO(t)RJt)K°4t)-~

- К» (О (О- So (О к» (016 а -п,

откуда

S (О - Qo (О -К» (О So (О - So (О К" it) + Qo (О + + K»(0Ro(0K40-

Дисперсионное уравнение (10.217) в этом случае принимает вид

Q = (А- К" С) Q-Ь Q (А - К" С) + Qo-К» S--So К" + К" Ro K Q {U) -Ро.

Если предположить, что дисперсионная матрица оценки Q =Р, и подставить выражение для К" из (10.193), то последнее уравнение преобразуется к виду (10.194). Следовательно, действительно матрица Р, определяемая из матричного уравнения

Риккати в наблюдателе Калмана-Бьюси, является дисперсионной матрицей ошибки.

Наблюдатель Калмана-Бьюси при цветном шуме объекта. Рассмотрим задачу линейного оптимального оценивания при условии, что шум объекта является небелым, т. е., как принято еще говорить, является цветным. Пусть объект и наблюдение (измерение) описываются уравнениями

= Al х" + BiU + х»; х" (to) х1>;

y = C,x<»-f V„(0.

где У„ - белый шум наблюдения с характеристиками

MV,=0; M{y(t)Vl(t)) =Ro(t)6(t-fy, Ro>0;

Хо** - случайный вектор с характеристиками

Мх"= X*"; M{tx/.-ClIx -Af}=Pio; х(2) - шум объекта.

Предполагается, что шум объекта является цветным и удовлетворяет уравнению

kAx-f-V. x(fo) = x«>.

где V„ - белый шум с характеристиками

= 0; М {V„ (О \1 (Г)} = Qo (t) б (/-t);

- случайный вектор с характеристиками

Мх =х<, M{[xJ»>- х»>] [хГ- х<"]}= Ро..

Последнее уравнение называется уравнением формирователя (формирующего фильтра) или просто формирователем (формирующим фильтром). Формирователь формирует из белого шума с известными характеристиками заданный цветной шум. Введя обозначения

C=(Ci 0); G =

/Рю о \ 1.0 РгоУ ..

приведенные уравнения можно представить в виде x=Ax + Bu+GV„, y = Cx + V„.

Здесь, как всюду в этой главе, все нулевые и единичные матрицы независимо от их размера обозначаются О и Е.

В преобразованных уравнениях шумы объекта и наблюдения являются белыми. Шумом объекта является GV с интенсивностью GQoG, поэтому наблюдатель Калмана-Бьюси при цветном шуме объекта описывается теми же уравнениями (10.192)-(10.195), но при условии, что в дисперсионное уравнение вместо Qo подставляется GQoG. При некоррелирован-йых шумах Vo и У„ имеем:

"A-f Bu-f К«(у-Сх); (g = Xo; Ko-PCReM . Р = АР + РАГ-PCR-CP + GQoG;

P(fo)=Po.

Представив дисперсионную матрицу в виде блоков

Pi Pl2

VPzi Рг /

И принимая во внимание введенные обозначения, матрицу К" и уравнение для оценки можно представить следующим образом:

/Pi Pi • Pzi Рг

К0 =

](C,0)R-

PiCR-

Pai Cj Ro * , 1 > = Al Х<» > + 9 -f Bi u + Ki (у - Cj "x >); x(<o)=x<»;.

х» - Аг Х» + Кг (y-Ci x>), х (<о) = х.

Из уравнения для Р нетрудно получить уравнения для Pj, Pi2 и Pj. Наблюдатель Калмана--Бьюси при цветном шуме объекта помимо модели исходной системы включает еще модель формирователя (рис. 10.8).

Пример 10.25. Пусть заданы уравнение и начальные условия где Х2 - стационарный случайный процесс с характеристиками

1>

е-ч;