Что выражение обращается в нуль при tf = In l(jc" + UmVumb Получен-

переводите время tf 0 < t <

Теперь покажем, что нет допустимого управления, которое переводит объект в точку х, для которой \xf\ > из точки X (0) = 0. При д: (0) = О имеем

40= j е-<->н(т)йт.

При любом допустимом управлении справедливо неравенство

\x{t) I < max j е-*-) к(т)Л = и„(1 -е" < к. а<:и О

поэтому равенство х (if) = невозможно при любом if > О, если д/ > Um.

Рассмотрим достаточное условие управляемости для линейного стационарного объекта с ограничением на управление:

x = Ax + Bu, xg i?";

ajUjj, a,-<0, p,>0, / = 1, 2, r.

(10.92)

Для этого объекта справедливо следующее утверждение [131: объект (10.92) вполне управляем относительно точки \f - О, если пара (А, В) вполне управляема и собственные значения матрицы А, т. е. корни уравнения det [7,Е - А] = О, имеют отрицательные вещественные части при векторном управлении {г>1) или неположительные вещественные части при скалярном управлении {г - 1).

Пример 10.16. Проверим управляемость объекта, описываемого уравнениями

Xi=Xi, Х2и,\и\ I. В данном случае управление скалярное и

; det (А,Е-А) = Х,2.

Как легко проверить, пара (А, В) вполне управляема и собственные значения матрицы А равны нулю. Следовательно, объект вполне управляем относительно точки х" = 0.

Наблюдаемость и восстанавливаемость

При синтезе оптимальных систем с оёратной связью управления получаются как функции от фазовых координат. В общем случае фазовые координаты являются абстрактными величинами и не могут быть измерены. Поддается измерению (наблюдению) вектор у = (z/i, .... УрУ, который обычно называют выходным вектором или выходной переменной, а его координаты - выходными величинами. Выходная переменная функционально связана с фазовыми координатами, и для реализации управления с обратной связью необходимо определить фазовые координаты по измеренным значениям выходной переменной. В связи с этим возникают проблемы наблюдаемости и восстанавливаемости, заключающиеся в установлении возможности определения состояния объекта (фазового вектора) по измеренным значениям выходной переменной на некотором интервале.

Пусть объект описывается уравнением

x=f (X. U. t), xG (10.93)

а выходная переменная связана с фазовыми координатами соотношением

y = F(x, U, 0. уеР. (10.94)

которое называется уравнением наблюдения.

Система (10.93). (10.94) называется вполне или полностью наблюдаемой, если существует такое ti, t<Zti<. оо, что по данным измерения у (т) и и (т) на интервале ? < т < ?х можно определить состояние х (f). Полная наблюдаемость означает, что имеется возможность определить состояние х (t) по будущим значениям выходной переменной. Однако в задачах управления текущее состояние объекта должно определяться по прошлым значениям выходной переменной, поэтому более важным обстоятельством является полная восстанавливаемость [10].

Система ((10.93), (10.94) называется вполне или полностью восстанавливаемой, если существует такое t, -оо<: t, чпго по данным измерения у(т) и и (т) на интервале < т < можно определить состояние % (t). Нетрудно заметить, что для стационарных систем из полной наблюдаемости следует полная восстанавливаемость и наоборот, поэтому в таких случаях можно эти понятия не различать.

г Наблюдаемость линейных стационарных систем. Рассмотрим линейную стационарную систему

x = Ax-f Ви, xG (10.95)

y = Cx-f Du, yG/?P. (10.96)

Введем так называемую матрицу наблюдаемости

Н= [САС ... (АО"- СП. (10.97)

Эта матрица состоит из столбцов матрицы С", произведений матриц АС (А) (А)"- и имеет размерность

(п X рп).

Для линейной стационарной системы справедлив следующий критерий полной наблюдаемости: система (10.95), (10.97), еполне наблюдаема {восстанавливаема) тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости (10.97) равен п.

Транспонированная матрица

/ С \

(10.98)

\СА"-/

имеет такой же ранг, что и матрица (10.97), поэтому вместо исходной матрицы наблюдаемости можно рассматривать транспонированную. Ниже приводится доказательство критерия наблюдаемости [6, 10].

Необходимость. Пусть ранг матрицы меньше п. Тогда размерность пространства Rh , порожденного строками матрицы И, меньше п, т. е. является собственным подпространством пространства Поэтому существует ненулевой вектор х G ортогональный всем строкам матрицы (таким вектором является любой вектор из R", не принадлежащий подпространству Rh):

Cxj.=0, САх=0,..., СА«-»х=0. (10.99)

Из теоремы Гамильтона-Кэли 1см. (10.85)1 по индукции следует, что матрицы А* при k > п линейно выражаются через Е. А, .... Дп-, поэтому из (10.99) получаем, что САXj =0 при всех / = О, 1, 2..... Следовательно,

CeAXi-C(E-f A/-f-l-A2/2-f...)xj.=0. (10.100)