чеиие аргумента не совпадало с табличным, то не оставалось ничего другою, как интерполировать. Для этого существовали соответствующие формулы, в которые входили такие величины, как «наш шаг» и «табличный шаг». На успех мог рассчитывать лишь тот, кто полностью освоил эту технику.

Быстрое развитие микрокалькуляторов оттеснило на задний план математические таблицы, но интерпо-

Хо X* Xt X

Рис. 22. Линейная интерполяция между точками (хо, Уо) и (хи г/J.

ляционные методы по-прежнему сохранили свое значение. Речь идет о следующем. Значения функции or Уо до Уп известны в п + 1 точках хо, Х\, ..., Хп. Требуется аппроксимировать ее многочленом (то есть суммой конечного числа степеней х от п-й до нулевой), значения которого в указанных п-\- 1 опорных точках совпадают с заданными значениями функции, а между точками Xt дают как можно лучшее приближение функции (рис. 21).

В школе нас познакомили с линейной интерполяцией, то есть научили проводить прямую между точками {хо, Уо) и (xi, yi) и промежуточные значения аппроксимируемой функции заменять значениями линейной функции (рис. 22).

Для практических целей в большинстве случаев (если функция, заданная своим аналитическим выражением или численно, ведет себя «не слишком плохо») вполне достаточно кубической интерполяции (многочленом 3-й степени) по четырем опорным точкам. Ход вычислений становится особенно прозрачным, если интерполяцию производить по равноотстоящим

точкам 1(с шагом h между опорными значениями х).

Одну из наиболее надежных интерполяционных формул предложил Исаак Ньютон (1643-1727). С точностью до членов третьего порядка она имеет вид

У {х) = Со + Cl (х - Хо) + с, (х - Хо) (х - Xi)+ . + Сз (л; - Хо) (х - Xi) (х - Xi)

с Xi = Хо -\- h, Xi ~ Хо + 2h и следующими коэффициентами:

Cl =

Символ А" (А читается: дельта) - принятое во всем мире обозначение разностей п-го порядка. Вычисляются разности по схеме:

Каждое значение в столбце (начиная со второго) получается как разность двух значений, стоящих в предыдущем столбце на «полстроки» выше и ниже.

Поясним вычисление ньютоновского интерполяционного многочлена на примере. Предположим, что заданы значения независимой переменной

Ха-15, a;i==30, X2 = 45, Хз = 60

и соответствующие значения аппроксимируемой функции

= 0,2583, у, = 0,5, = 0.7071, г/з = 0,8660. Шаг интерполяции h равен 15. 198

Разности получаем по следующей схеме:

По найденным значениям разностей вычисляем коэффициент интерполяционного многочлена:

Со = 0,258819, 0,241181

-0,0341

2-152 -0,0141

6- 152

= -0,0160787, - = -0,0000757, -=-0,0000006.

Следовательно, интерполяционный многочлен можно представить в виде

у = 0,258819 + 0,0160787 {х - 15) -

- 0,0000757 (л; - 15) (л; - 30) -

- 0,0000006 (х-Щ{х - 30) {х - 45).

Внимательный и достаточно искушенный в математике читатель, должно быть, заметил, что в нашем примере мы аппроксимировали кубическим многочленом отрезок синусоиды от 15° до 60°. Разумеется, после того, как интерполяционный многочлен записан в каноническом виде, можно раскрыть все скобки, привести подобные члены и упорядочить их по степеням X. Процедура эта довольно громоздка, и если интерполяционный многочлен необходим для вычисления промежуточных значений функции, то удобнее использовать его канонический вид.

Поскольку при последующей интерполяции очень маленькие числа приходится умножать на очень большие, необходимо удерживать сравнительно много